Павел Флоренский История и философия искусства - Павел Флоренский

α=2ς–π= О, где 2ς=ΔΑ+ΔΒ + Δϋ.

Перенесем теперь наш треугольник, предполагая стороны его гибкими, но не растяжимыми, на рассматриваемую кривую поверхность и возможно натянем его стороны, так чтобы при этом они не отставали от поверхности. Тогда каждая из них пойдет в направлении кратчайшего расстояния по поверхности, или, как говорят, по геодезической линии поверхности. Такую линию, согласно определению прямой как кратчайшего расстояния, жители этой поверхности должны признавать за прямую, или прямейшую, —прямую на этой поверхности и, следовательно, весь треугольник — за прямолинейный. Но, понятное дело, форма этого треугольника теперь изменилась и изменились его углы; теперь они уже не А, В и С, а Л1, В С1 и сумма их 2qx уже не π, а некоторая другая величина. Поэтому α = 2<71_ π, где 2q — Z_Al+/LB{+/LC уже не равно нулю. Эта величина чх, т. е. величина отступления суммы углов деформированного на кривой поверхности треугольника от того же треугольника на евклидовской плоскости, носит название сферического избытка. Ясное дело, этот избыток имеет искривленность поверхности и, следовательно, сам эту искривленность характеризует. Но далее, деформация треугольника должна сказаться на величине его площади. Если представить себе, что мы выложили треугольник на плоскости весьма малыми квадратиками и сосчитали число их, а затем то же самое проделали с треугольником на кривой поверхности, то число квадратиков, там и тут выстилающих его площадь, окажется различным, и эта разница опять‑таки характеризует искривленность поверхности. Следовательно, должна возникнуть мысль связать эти три величины — площадь, сферический избыток и кривизну. Это и делает теорема Гаусса, согласно которой

где интеграл распространяется на всю поверхность треугольника AlBlCl на кривой поверхности, a da2 есть элемент площади этого треугольника. Смысл теоремы —в том, что сферический избыток накапливается в общей сложности всеми элементами поверхности, но в тем большей степени, чем больше кривизна в этом элементе. Иначе говоря, мы должны себе представлять кривизну поверхности по какой‑то формальной аналогии с поверхностной плотностью, и суммарное накопление этого качества поверхности сказывается сферическим избытком треугольника.

Физически теорему Гаусса можно толковать, воспользовавшись сыпучим или жидким телом. Если бы некоторое количество жидкости, мыслимой как несжимаемая, было налито тонким, ровным слоем на поверхность плоского треугольника, а затем перелито слоем той же толщины на треугольник деформированный, то жидкости или не хватило бы, или было бы слишком много. Вот этот‑то избыток, с положительным или отрицательным знаком, жидкости, отнесенный к толщине слоя, и равнялся бы сферическому избытку треугольника.

Возвращаемся к формуле Гаусса. Согласно приемам анализа бесконечно малых, она может быть переписана в виде:

где К2 есть некоторое значение кривизны нашей поверхности внутри треугольника. Следовательно:

Это среднее значение кривизны характеризуется как сферический избыток деформированного треугольника, отнесенный к единице его же площади. Иначе говоря, это есть избыток жидкости при деформации треугольника, отнесенный к полному ее количеству, или, иначе говоря, относительное изменение поверхностной емкости нашего треугольника при его деформировании. Представим себе теперь, что треугольник наш делается все меньше и меньше. Тогда площадь его станет беспредельно убывать, но вместе с тем станет беспредельно убывать и сферический избыток (если только рассматриваемая точка не есть исключительная). Отношение же этих убывающих причин будет стремиться к пределу, вызывающему относительное изменение поверхностной емкости в данной точке. Это и есть истинная Гауссова кривизна поверхности в данной точке.

Итак, когда мы обсуждаем кривую поверхность из трехмерного евклидовского пространства, то перенос на нее плоского треугольника мы истолковываем как деформацию и к понятию кривизны подходим из представления, что стороны его сделались кривыми. Но это есть оценка происходящего извне и притом, когда признается этот внешний мир безусловно неизменным; это есть высокомерное объяснение, которое было бы глубоко чуждо и вероятно враждебно для обитателя обсуждаемого треугольника. Гауссова кривизна, как величина l/R^R29 для него есть только формально–аналитический способ выражаться, ибо этот житель не сознает ничего вне поверхности, на которой лежит его треугольник, и потому искривления, как такового, заметить не способен. Оценка же происходящего внутренняя, в пределах доступного его прямому наблюдению, и соответственное выражение кривизны в данной точке будет им построено именно вышеуказанным способом: кривизна поверхности есть относительное изменение поверхностной емкости в данной точке, рассчитанное на единицу площади. Физически изменение кривизны от точки к точке могло бы быть установлено опытами с тонким слоем несжимаемой жидкости.

XV

Трехмерное пространство тоже характеризуется в каждой точке мерою кривизны, причем делается быстрый переход, отнюдь геометрически не обоснованный, что как двухмерное пространство может быть искривленным, так же —и трехмерное. Чаще всего обсуждения неевклидовских пространств и ограничиваются областями двухмерными. Когда же подвергается обсуждению и пространство трехмерное, то кривизна его вводится лишь формально–аналитически, как некоторое выражение дифференциальных параметров и не имеет ни геометрической наглядности, ни физической уловимости. Остается неясным, что именно должен сделать физик, хотя бы в мыслимом опыте, чтобы иметь случай так или иначе высказаться о кривизне изучаемого им пространства. Отвлеченно геометрически кривизна пространства должна выражаться искривлением прямейших, т. е. кратчайших, или геодезических, линий. Но, как разъяснено выше, физик, оставаясь со всеми своими инструментами, и даже со всеми своими наглядными представлениями в пределах этого самого трехмерного мира и подвергаясь, быть может, той же деформации, что и исследуемая геодезическая [линия], по–видимому, не имеет способа непосредственно убедиться в искривленности прямейшей. Понятие, которого не хватает при обсуждении неевклидовских пространств, однако, легко может быть построено, если обратиться к предыдущему. Это понятие есть относительное изменение емкости пространства.

Все дело в том, что одно и то же геометрическое тело, при разной кривизне пространства, будет иметь и разную емкость. Изменение этой емкости, отнесенное к единице объема, будет измерять кривизну трехмерного пространства. Более точно к пониманию меры кривизны можно подойти так:

Представим[68] себе тетраэдр, наполненный несжимаемою жидкостью. Пусть ребра этого тетраэдра гибки, но не растяжимы, и всегда натягиваются, т. е. суть прямейшие; грани же этого тетраэдра будем представлять себе способными растягиваться и сжиматься. Сумма телесных углов этого тетраэдра равна 4π, т. е. четырем прямым телесным углам. Представим себе теперь, что наш тетраэдр перенесен в неевклидовское пространство. Тогда он деформируется: его ребра пройдут по геодезическим, грани станут плоскостями этого нового пространства. Следовательно, телесные углы изменятся, и сумма их уже не будет 2π, а потому изменится и объем тетраэдра. Следовательно, содержащейся в нем жидкости станет теперь либо слишком мало, либо слишком много; этот избыток, понимая его в алгебраическом смысле, зависит от степени деформации тетраэдра, следовательно — от избытка суммы телесных углов деформированного тетраэдра над 4π. Но, с другой стороны, деформация тетраэдра и все вытекающие отсюда последствия зависят от степени искривленности данного пространства, и, следовательно, относительное изменение емкости тетраэдра характеризует кривизну пространства.

Можно высказать, таким образом, теорему, аналогичную теореме Гаусса:

Тут dbз есть элемент объема, /Г3 — кривизна трехмерного пространства, 2р3 — сумма телесных углов тетраэдра, интеграл же распространяется на весь объем тетраэдра. Это значит: избыток суммы телесных углов над 4π, который может быть назван гиперсферическим избытком, накапливается в тетраэдре каждым элементом его объема, но в различной степени; интенсивность этого накопления в каждом месте характеризуется мерой кривизны.

Итак, кривизна пространства тут понимается как удельная емкость пространства данной точки. Написанное соотношение дает по–прежнему: