История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - Ричард Манкевич

Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее — треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту.

В последние годы жизни Галилей все-таки сумел написать труд «Беседы и математические доказательства двух новых наук» (1638), который контрабандой был вывезен из Италии и напечатан в Лейдене. В нем ученый возвращается к механике, предмету, который волновал его больше всего, и анализирует ускорение. Анализ колебания маятника, который он создал еще в юности, показал, что время, затраченное на каждое колебание, не зависит ни от амплитуды, ни от веса груза — на него влияет только длина маятника. Время колебания обратно пропорционально квадратному корню длины маятника. Эксперименты Галилея с телами, скатывающимися по различным плоскостям и находящимися в свободном падении, привели его к двум важным открытиям: во-первых, скорость тела пропорциональна времени, в течение которого оно двигается, а во-вторых, пройденное расстояние пропорционально квадрату времени движения. Также считалось, что более тяжелое тело упадет быстрее, чем легкое, но Галилей показал ложность этого утверждения, заявив, что эти тела упадут с одной и той же скоростью, если не учитывать сопротивление воздуха. В реальной жизни пушечное ядро падает быстрее, чем перо, но не из-за разницы в весе, а вследствие разного сопротивления воздуха — маленький шарик одного веса с перышком упал бы так же быстро, как и пушечное ядро. Галилей различал две силы, действующие на предмет, и это привело его к анализу движения снаряда в полете. Разделив горизонтальную и вертикальную компоненты силы, он обнаружил, что снаряд движется по параболе. Это подтолкнуло его к дальнейшим работам по баллистике.

Закончим говорить об авторитете Священного Писания. Ныне скажем о том, что касается мнения святых относительно природы. Я говорю только одно: в богословии важна значимость авторитета, но в философии весом только авторитет разума. Святой Лактанций отрицал округлость Земли; святой Августин допустил округлость, но отрицал существование антиподов. Священная канцелярия наших дней свята, она допускает ограниченность размеров Земли, но отрицает ее движение. Но для меня священнее всех их будет Истина, когда я, при всем уважении к отцам церкви, демонстрирую с помощью философии, что Земля круглая, что на обратной ее стороне живут антиподы, а сама Земля — маленький межзвездный скиталец.

Исаак Ньютон родился в год смерти Галилея. Ему выпало свести все разрозненные элементы в единую теорию. Чтобы понять, какой беспорядок царил в то время в науке, следует представить, что в то время еще существовало две отдельные науки — земная и астрономическая механика. По мнению Кеплера, планеты перемещались по эллиптическим орбитам, их двигала таинственная магнитная сила, исходящая от Солнца, при этом инерция планет замедляла их движение относительно скорости вращения самого Солнца. По мнению Галилея, планеты перемещались по кругам, потому что такое движение идеально и присуще их природе, а инерция поддерживала движение планет. Все еще сильнее запуталось, когда Декарт, уточняя модель Кеплера, объявил, что инерция заставляет тела двигаться по прямой линии, а пути планет изогнуты вихрями, бушующими в Солнечной системе. Новаторская работа Галилея в области ускорения и земной механики, казалось, не могла иметь никакого отношения к механике небесной. Согласования в определениях ключевых физических понятий — таких, как масса и вес, инерция и импульс, сила и энергия, магнетизм и гравитация, не существовало.

В 1687 году после долгих уговоров и при финансовой поддержке со стороны Эдмунда Галлея (1656–1742) Ньютон издал свой труд «Математические начала натуральной философии», более известный под сокращенным названием «Начала». Он стал широко известен только в 1720-е годы, после двух последующих переизданий. В этой главе я коснусь лишь механики, об исчислении же поговорим позже. В «Началах» приводятся три закона движения, выведенные Ньютоном. Согласно традиционно принятому порядку (хотя появились они в иной последовательности), первый закон гласит: «Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние». Это согласуется с представлениями Декарта и учитывает как статическое, так и динамическое равновесие сил. Второй закон звучит так: «Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует». Теперь он записывается следующим образом: F = та. А третий закон говорит о том, что «действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны». Затем Ньютон рассуждает о различных типах силовых полей и законе тяготения. Его мастерский ход заключался в том, что он уравнял в правах силы Кеплера и силы Галилея. В третьей книге «Начал», носящей название «О системе мира», изложены ключевые моменты его теории, приравнивающей силу, которая действует на падающее тело, и силу, которая действует на движущиеся по орбитам планеты. Итак, две механики внезапно стали единой наукой — земная и небесная разновидности, оказывается, подчиняются одним и тем же законам. Невидимым клеем, соединившим их, оказалась тогда еще загадочная сила гравитации.

Ньютон прославился изобретением (или со-изобретением, если можно так сказать) дифференциального и интегрального исчислений, но доказательства в «Началах» все еще геометрические, хотя чертежи часто отображают бесконечно малые изменения силы и перемещения, показывая, что получающееся движение должно считаться гладким. Но в космологии Ньютона все еще оставались нерешенные проблемы. Например, он не смог объяснить, что все планеты вращаются в одном и том же направлении, и не знал, почему они движутся именно по тем орбитам, на которых их наблюдают. Что касается силы гравитации, Ньютона беспокоила столь мощная сила, действующая на огромном расстоянии без посредства какой-либо передающей среды. Он не считал возможным действие на расстоянии в космическом вакууме. Скорее, ученый полагал, что есть некая среда (эфир), через которую передается сила, хотя вопрос, была ли она материальна, оставался нерешенным. Образ ангелов, двигающих планеты, заменили на универсальный дух. Кроме того, если бы тяготение было столь всепроникающим, то все объекты стремились бы притянуться друг к другу и Вселенная погибла бы. Ньютон обратился к Богу, назвав его защитником Вселенной от этой силы Судного дня. Теорию тяготения можно было бы легко отвергнуть, если бы математическая модель тяготения не соответствовала наблюдаемым фактам, но все было как раз наоборот: физическая реальность полностью совпадала с научным анализом этой самой реальности. Вихри Декарта были в конечном счете отвергнуты, потому что тяготение работало лучше. Математика действительно отлично «отражала явление». Новая механика шла в ногу с очередной ветвью математики — дифференциальным и интегральным исчислениями. Сейчас мы узнаем историю их изобретения.

Я, Галилео Галилей, сын покойного Винченцо Галилея из Флоренции, 70 лет, самолично поставленный перед судом, преклонив колена перед их эминенциями, досточтимыми кардиналами генерал-инквизиторами против еретической злобы во всем христианском мире, имея пред глазами Святое Евангелие, коего касаюсь собственными руками, клянусь, что всегда веровал, ныне верую и с помощью Божьею впредь веровать буду во все, что Святая Католическая и Апостольская Римская церковь за истинное приемлет, что проповедует и чему учит. Но так как я — после того, как мне от сего судилища сообщено было повеление, чтобы совсем оставил ложное мнение, будто Солнце есть центр мира и недвижно, Земля же не центр и движется, и чтобы не смел держаться того ложного мнения, не защищал его, не преподавал каким-либо способом или писанием и после того, как мне указано было, что учение это противно Священному Писанию, — написал и напечатал книгу, в которой излагаю это осужденное уже учение и привожу с настойчивостью аргументы в его пользу, не давая опровержения оных, то посему подвергся суду, как сильно заподозренный в ереси, а именно, что держусь мнения и верю, будто Солнце центр мира и недвижно, Земля же движется. Желая изъять из умов ваших эминенций и всякого христианина католика сие сильное возникшее против меня подозрение, я с чистым сердцем и верою неложною отрекаюсь от упомянутых заблуждений и ересей, проклинаю их и отвращаюсь от них и вообще от всяких заблуждений и сект, противных сказанной Святой Церкви. Клянусь, что в будущем ни устно, ни письменно не выскажу чего-либо, способного возбудить против меня подобное подозрение. И если узнаю какого-либо еретика или внушающего подозрение в ереси, не премину донести о нем сему священному судилищу или инквизитору или ординарию того места, где буду находиться. Клянусь, кроме того, и обещаю все эпитимии, наложенные на меня, или кои будут наложены, с точностью исполнять и соблюдать. А если, сохрани Боже, совершу что-либо противное сим моим обещаниям, протестациям и клятвам, то подлежу всем наказаниям и казням, кои Священными Канонами и другими общими и частными постановлениями установлены и обнародованы против такого, рода нарушителей. Да поможет мне Бог и Святое Его Евангелие, коего касаюсь руками.