Язык программирования Python - Роман Сузи

Возможно, что именно эта лекция приведет слушателей к пониманию ООП, пригодному и удобному для практической работы.

Ссылки

Дэвид Мертц http://www-106.ibm.com/developerworks/linux/library/l-pymeta.html

Лекция #5: Численные алгоритмы. Матричные вычисления.

В данной лекции рассматривается пакет Numeric для осуществления численных расчетов и выполнения матричных вычислений, приводится обзор других пакетов для научных вычислений.

Numeric Python — это несколько модулей для вычислений с многомерными массивами, необходимых для многих численных приложений. Модуль Numeric вносит в Python возможности таких пакетов и систем как MatLab, Octave (аналог MatLab), APL, J, S+, IDL. Пользователи найдут Numeric достаточно простым и удобным. Стоит заметить, что некоторые синтаксические возможности Python (связанные с использованием срезов) были специально разработаны для Numeric.

Numeric Python имеет средства для:

• матричных вычислений LinearAlgebra;

• быстрого преобразования Фурье FFT;

• работы с недостающими экспериментальными данными MA;

• статистического моделирования RNG;

• эмуляции базовых функций программы MatLab.

Модуль Numeric

Модуль Numeric определяет полноценный тип–массив и содержит большое число функций для операций с массивами. Массив — это набор однородных элементов, доступных по индексам. Массивы модуля Numeric могут быть многомерными, то есть иметь более одной размерности.

Создание массива

Для создания массива можно использовать функцию array() с указанием содержимого массива (в виде вложенных списков) и типа. Функция array() делает копию, если ее аргумент — массив. Функция asarray() работает аналогично, но не создает нового массива, когда ее аргумент уже является массивом:

>>> from Numeric import *

>>> print array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])

[[1 2]

 [3 4]

 [5 6]]

>>> print array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], Float)

[[ 1. 2. 3.]

 [ 4. 5. 6.]]

>>> print array([78, 85, 77, 69, 82, 73, 67], 'c')

[N U M E R I C]

В качестве элементов массива можно использовать следующие типы: Int8–Int32, UnsignedInt8–UnsignedInt32, Float8–Float64, Complex8–Complex64 и PyObject. Числа 8, 16, 32 и 64 показывают количество битов для хранения величины. Типы Int, UnsignedInteger, Float и Complex соответствуют наибольшим принятым на данной платформе значениям. В массиве можно также хранить ссылки на произвольные объекты.

Количество размерностей и длина массива по каждой оси называются формой массива (shape). Доступ к форме массива реализуется через атрибут shape:

>>> from Numeric import *

>>> a = array(range(15), Int)

>>> print a.shape

(15,)

>>> print a

[ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]

>>> a.shape = (3, 5)

>>> print a.shape

(3, 5)

>>> print a

[[ 0  1  2  3  4]

 [ 5  6  7  8  9]

 [10 11 12 13 14]]

Методы массивов

Придать нужную форму массиву можно функцией Numeric.reshape(). Эта функция сразу создает объект–массив нужной формы из последовательности.

>>> import Numeric

>>> print Numeric.reshape("абракадабр", (5, -1))

[[а б]

 [р а]

 [к а]

 [д а]

 [б р]]

В этом примере –1 в указании формы говорит о том, что соответствующее значение можно вычислить. Общее количество элементов массива известно (10), поэтому длину вдоль одной из размерностей задавать не обязательно.

Через атрибут flat можно получить одномерное представление массива:

>>> a = array([[1, 2], [3, 4]])

>>> b = a.flat

>>> b

array([1, 2, 3, 4])

>>> b[0] = 9

>>> b

array([9, 2, 3, 4])

>>> a

array([[9, 2],

       [3, 4]])

Следует заметить, что это новый вид того же массива, поэтому присваивание значений его элементам приводит к изменениям в исходном массиве.

Функция Numeric.resize() похожа на Numeric.reshape, но может подстраивать число элементов:

>>> print Numeric.resize("NUMERIC", (3, 2))

[[N U]

 [M E]

 [R I]]

>>> print Numeric.resize("NUMERIC", (3, 4))

[[N U M E]

 [R I C N]

 [U M E R]]

Функция Numeric.zeros() порождает массив из одних нулей, а Numeric.ones() — из одних единиц. Единичную матрицу можно получить с помощью функции Numeric.identity(n):

>>> print Numeric.zeros((2,3))

[[0 0 0]

 [0 0 0]]

>>> print Numeric.ones((2,3))

[[1 1 1]

 [1 1 1]]

>>> print Numeric.identity(4)

[[1 0 0 0]

 [0 1 0 0]

 [0 0 1 0]

 [0 0 0 1]]

Для копирования массивов можно использовать метод copy():

>>> import Numeric

>>> a = Numeric.arrayrange(9)

>>> a.shape = (3, 3)

>>> print a

[[0 1 2]

 [3 4 5]

 [6 7 8]]

>>> a1 = a.copy()

>>> a1[0, 1] = -1 # операция над копией

>>> print a

[[0 1 2]

 [3 4 5]

 [6 7 8]]

Массив можно превратить обратно в список с помощью метода tolist():

>>> a.tolist()

[[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]]

Срезы

Объекты–массивы Numeric используют расширенный синтаксис выделения среза. Следующие примеры иллюстрируют различные варианты записи срезов. Функция Numeric.arrayrange() является аналогом range() для массивов.

>>> import Numeric

>>> a = Numeric.arrayrange(24) + 1

>>> a.shape = (4, 6)

>>> print a # исходный массив

[[ 1  2  3  4  5  6]

 [ 7  8  9 10 11 12]

 [13 14 15 16 17 18]

 [19 20 21 22 23 24]]

>>> print a[1,2]     # элемент 1,2

9

>>> print a[1,:]     # строка 1

[ 7 8 9 10 11 12]

>>> print a[1]       # тоже строка 1

[ 7 8 9 10 11 12]

>>> print a[:,1]     # столбец 1

[ 2 8 14 20]

>>> print a[-2,:]    # предпоследняя строка

[13 14 15 16 17 18]

>>> print a[0:2,1:3] # окно 2x2

[[2 3]

[8 9]]

>>> print a[1,::3]   # каждый третий элемент строки 1

[ 7 10]

>>> print a[:,:: -1] # элементы строк в обратном порядке

[[ 6  5  4  3  2  1]

 [12 11 10  9  8  7]

 [18 17 16 15 14 13]

 [24 23 22 21 20 19]]

Срез не копирует массив (как это имеет место со списками), а дает доступ к некоторой части массива. Далее в примере меняется на 0 каждый третий элемент строки 1:

>>> a[1,::3] = Numeric.array([0,0])

>>> print a

[[ 1  2  3  4  5  6]

 [ 0  8  9  0 11 12]

 [13 14 15 16 17 18]

 [19 20 21 22 23 24]]

В следующих примерах находит применение достаточно редкая синтаксическая конструкция: срез с многоточием (Ellipsis). Многоточие ставится для указания произвольного числа пропущенных размерностей (:,:,...,:):

>>> import Numeric

>>> a = Numeric.arrayrange(24) + 1

>>> a.shape = (2,2,2,3)

>>> print a

[[[[ 1  2  3]

   [ 4  5  6]]

  [[ 7  8  9]

   [10 11 12]]]

 [[[13 14 15]

   [16 17 18]]

  [[19 20 21]

   [22 23 24]]]]

>>> print a[0,...] # 0–й блок

[[[ 1 2 3]

  [ 4 5 6]]

 [[ 7 8 9]

  [10 11 12]]]

>>> print a[0,:,:,0] # срез по первой и последней размерностям

[[ 1  4]

 [ 7 10]]

>>> print a[0,...,0] # то же, но с использованием многоточия

[[ 1  4]

 [ 7 10]]

Универсальные функции

Модуль Numeric определяет набор функций для применения к элементам массива. Функции применимы не только к массивам, но и к последовательностям (к сожалению, итераторы пока не поддерживаются). В результате получаются массивы.

Функция Описание add(x, y), subtract(x, y) Сложение и вычитание multiply(x, y), divide(x, y) Умножение и деление remainder(x, y), fmod(x, y) Получение остатка от деления (для целых чисел и чисел с плавающей запятой) power(x) Возведение в степень sqrt(x) Извлечение корня квадратного negative(x), absolute(x), fabs(x) Смена знака и абсолютное значение ceil(x), floor(x) Наименьшее (наибольшее) целое, большее (меньшее) или равное аргументу hypot(x, y) Длина гипотенузы (даны длины двух катетов) sin(x), cos(x), tan(x) Тригонометрические функции arcsin(x), arccos(x), arctan(x) Обратные тригонометрические функции arctan2(x, y) Арктангенс от частного аргумента sinh(x), cosh(x), tanh(x) Гиперболические функции arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x) Обратные гиперболические функции exp(x) Экспонента (ex) log(x), log10(x) Натуральный и десятичный логарифмы maximum(x, y), minimum(x, y) Максимум и минимум conjugate(x) Сопряжение (для комплексных чисел) equal(x, y), not_equal(x, y) Равно, не равно greater(x, y), greater_equal(x, y) Больше, больше или равно less(x, y), less_equal(x, y) Меньше, меньше или равно logical_and(x, y), logical_or(x, y) Логические И, ИЛИ logical_xor(x, y) Логическое исключающее ИЛИ logical_not(x) Логические НЕ bitwise_and(x, y), bitwise_or(x, y) Побитовые И, ИЛИ bitwise_xor(x, y) Побитовое исключающее ИЛИ invert(x) Побитовая инверсия left_shift(x, n), right_shift(x, n) Побитовые сдвиги влево и вправо на n битов

Перечисленные функции являются объектами типа ufunc и применяются к массивам поэлементно. Эти функции имеют специальные методы: