2. Пространство. Время. Движение - Ричард Фейнман

Теперь Мик подсчитывает моменты сил в своей системе.

Пусть одна система координат повернута на угол q по отноше­нию к другой, так что ось z осталась той же самой. (Угол q ничего не имеет общего с вращением объекта или с чем-то про­исходящим внутри системы координат. Это просто связь меж­ду осями, используемыми одним человеком, и осями, исполь­зуемыми другим. Мы предполагаем, что он остается постоян­ным.) При этом координаты в двух системах связаны так:

x'=xcosq+ysinq,

y'=уcosq-хsinq, (20.3)

z'=z.

Точно таким же образом, поскольку сила является вектором, она преобразуется в новой системе координат так же, как х, у и z. Просто, по определению, объект называется вектором тогда и только тогда, когда различные его компоненты преобра­зуются как х, у и z

Теперь можно определить, как преобразуется момент силы. Для этого в уравнение (20.2) нужно просто подставить вместо х', у' и z' выражение (20.3), а для Fx' , Fy', и Fz'-— выражение (20.4). В результате для tx'y' получается длинный ряд членов, но оказывается (и на первый взгляд это удивительно), что все сводится просто к выражению xFy-yFx, которое, как известно, является моментом силы в плоскости ху:

Результат совершенно ясен: ведь мы только повернули оси, лежащие в плоскости ху, при этом момент относительно оси z в этой плоскости не отличается от прежнего: ведь плоскость-то осталась той же самой! Более интересно выражение для tV'Z' . Здесь уже мы имеем дело с новой плоскостью. Если теперь повторить то же самое с плоскостью y'z', то получим

И наконец, для плоскости z'x'

Мы хотели найти правило для определения момента сил в новой системе через момент сил в старой и нашли его. Как можно за­помнить это правило? Если внимательно посмотреть на урав­нения (20.5)—(20.7), то нетрудно увидеть, что между ними и уравнениями для х, у и z существует тесная связь. Если каким-то образом мы бы могли назвать tхуz-компонентой чего-то, скажем z-компонентой вектора t, то все было бы в порядке: уравнение (20.5) мы бы понимали как преобразование вектора t, ибо z-компонента его, как это и должно быть, оставалась бы неизменной. Аналогично, если связать плоскость yz с x-компонентой новоиспеченного вектора, а плоскость zx с у-компонентой, то закон преобразования будет выглядеть так:

что в точности соответствует закону преобразования векторов.

Мы, следовательно, доказали, что комбинацию xFy-yFxможно отождествить с тем, что обычно называется z-компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе круче­ния. Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении как самый настоящий вектор.

Итак, мы представляем момент силы в виде вектора. Соглас­но правилу, с каждой плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Од­нако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределен­ный знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило, которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в плоскости ху, то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси z. Это означает, что предварительно кто-то должен сказать нам, где «право», а где «лево». Предположим, что система координат xyz правосторонняя; тогда правило должно быть таким: если представить себе кручение как ввертывание болта с правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с этим кру­чением, определяется поступательным движением болта.

Почему же момент можно отождествить с вектором? А это счастливая случайность: с каждой плоскостью можно связать только одну ось и, следовательно, с моментом можно связать только один вектор. Это свойство — особенность трехмерного пространства. В двумерном пространстве, например, момент — самый обычный скаляр, не нуждающийся в направлении. В трех­мерном пространстве он — вектор. Если бы у нас было четыре измерения, то возникло бы большое затруднение, ибо (если, например, в качестве четвертого измерения взять время) допол­нительно к трем плоскостям xy, yz и zx появятся также плоскости tx, ty и tz. Всего, следовательно, получается шесть плоскостей, а представить шесть величин в виде одного четырехмерного век­тора невозможно.

Однако нам еще долго предстоит оставаться в трехмерном пространстве, поэтому стоит отметить, что в предыдущих мате­матических рассмотрениях совершенно не существенно то, что х — координата, a F — сила, а существен только закон преобразования векторов. Поэтому не будет никакой разницы, если мы вместо координаты х подставим x-компоненту любого другого вектора. Иначе говоря, если мы хотим вычислить величину axby-aybx, где а и b — векторы, и назвать ее z-компонентой некоторой новой величины cz, то эта величина будет вектором с. Было бы хорошо для такой связи трех компонент нового вектора с с векторами а и b придумать какое-то матема­тическое обозначение. Для такой связи пользуются обозначе­нием: c=aXb. Таким образом, в дополнение к обычному ска­лярному произведению в векторном анализе мы получили про­изведение нового сорта, так называемое векторное произведение. Итак, запись c=aXb это то же самое, что

cx=aybz-агbу,

cy=azbx-axbz, (20,9)

сг=ахbу -ауbх.

Если переменить порядок векторов а и b, т. е. вместо aXb взять bXa, то знак вектора с при этом изменится, ибо czравно bхау-bуах. Векторное произведение поэтому не похоже на обыч­ное умножение, для которого аb=bа. Для векторного произ­ведения bXa=-aXb. Отсюда немедленно следует, что если а=b, то векторное произведение равно нулю, т. е. аXа=0.

Векторное произведение очень хорошо передает свойство вращения, поэтому важно понимать геометрическую связь векторов а, b и с. Связь между компонентами определяется уравнениями (20.9), исходя из которых можно получить сле­дующие геометрические соотношения. Во-первых, вектор с пер­пендикулярен как к вектору а, так и к вектору b. (Попробуйте вычислить сXа и вы увидите, что в результате получится нуль.) Во-вторых, величина вектора с оказывается равной произведе­нию абсолютных величин векторов b и а, умноженному на синус угла между ними. А куда направлен вектор с? Вообразите, что мы доворачиваем вектор а до вектора b в направлении угла, меньшего 180°; если крутить в ту же сторону болт с право-винтовой резьбой, то он должен двигаться в направлении век­тора с. То, что мы берем правовинтовой болт, а не левовинтовой,— простая договоренность, которая постоянно напоминает нам, что в отличие от настоящих, «честных» векторов а и b вектор нового типа аXb по своему характеру слегка отличается от них, ибо строится он искусственно, по особому рецепту. У обычных векторов а и b, кроме того, есть специальное название: мы называем их полярными векторами. Примерами таких векторов служат координата r, сила F, импульс р, скорость v, электрическое поле Е и т. д. Все это обычные полярные век­торы. Векторы же, содержащие одно векторное произведение обычных векторов, называются аксиальными векторами, или псевдовекторами. Примерами псевдовекторов, несомненно, мо­гут служить момент силы t и момент импульса L. Кроме того, оказывается, что угловая скорость w, как и магнитное поле В, тоже псевдовектор.