ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ - Сергей Бобров

2 • 3 = 6 = (1 + √-5)(1 + √-5).

Попробуйте проверьте! Надо, видите ли, еще иметь в виду, что вопросы делимости могут касаться даже и алгебраических выражений, а ведь это очень важно, ибо алгебра-то и учит нас решать вопросы в общем виде. Вот задачка: дано выражение

m3 + 6m2 + 11m +6.

Спрашивается, делится оно на три или нет? Что вы на это скажете?

- Не знаю, - ответил смутившийся Илюша, - может быть, попробовать разложить на множители?

- 100 -

И мальчик получил:

(m + 2) (m + 3) (m + 4).

- А теперь заменим (m+ 2) на n. И тогда?

Илюша написал, а затем ответил нерешительно:

- Три натуральных числа подряд. Произведение! Коли так... то должно делиться на три! Вот странная задачка! Сразу не разберешься. А ведь мне нужно еще узнать про Дразнилку, - обратился Илюша к Радиксу, ибо Мнимий уже исчез. - Ты расскажешь?

- Отчего же! - ответил Радикс, беря со стола три картоночки, каждая величиной с почтовую карточку, и протягивая их Илюше. - Мы с тобой сначала рассмотрим самый простенький случай - тройного Дразнилку, который у тебя назывался "икс". Помнишь?

- Помню! - сказал Илюша, разглядывая карточки. На каждой стояла цифра: 1, 2 и 3.

- Так вот, - продолжал Радикс, - положи их на стол в обычном порядке. Запиши мелом на стене эту первую комбинацию, исходный порядок, то есть 1-2-3. А теперь перекладывай их так: ту, которая стоит спереди, клади в самый конец и повторяй дальше тем же порядком. Это круговая, или циклическая, перестановка.

Илюша переложил несколько раз, потом сказал:

- Больше не выходит. Опять то же самое получается.

- А теперь разложи их в обратном порядке: 3-2-1 и перекладывай опять так же.

- И тут то же, - ответил Илюша. - Опять я пришел к тому же, с чего начал, то есть к 3-2-1.

- Ну, теперь запиши.

Илюша записал так:

А)

1 - 2 – 3

2 – 3 – 1

3 – 1 - 2

Б)

3 – 2 - 1

2 – 1 - 3

1 – 3 - 2

- Вот они и все, - сказал Илюша, - их всего шесть штук.

- Попробуй, - посоветовал Радикс, - взять опять комбинацию 1-2-3 и перекладывать не переднюю назад, а заднюю вперед.

- Не стоит, - отвечал Илюша, - это я уже пробовал там, у Розамунды. То-то и дело, что они ходят друг за дружкой гуськом. И все равно в какую сторону двигать.

- 101 -

- Правильно, - сказал Радикс. - А теперь положи карточки рядом в порядке 1-2-3 и посмотри в зеркало, что у тебя получится.

Илюша посмотрел в зеркало и увидел, что из его комбинации 1-2-3 в зеркале получается 3-2-1.

- Как раз наоборот! - сказал он. - Из "А" получается "Б".

- Ну, теперь переставляй их вкруговую. И смотри, что выходит в зеркале.

Из 2-3-1 в зеркале вышло 1-3-2; из 3-1-2 получилось 2-1-3.

- Ну, как ты думаешь, - спросил Радикс, - можно ли уложить карточки так, чтобы и перед зеркалом и в зеркале получилось одно и то же расположение?

- Н-нет, - сказал в недоумении Илюша. - Ну как же это возможно? Нет, нельзя!

- Так, - отвечал его наставник, - Значит, там один круг, а здесь другой. Ну, вот и всё. Весь секрет Дразнилки в том, что там при наличии одной пустышки, в сущности, возможны только круговые перестановки. Игра в Дразнилку, как ты и сам понимаешь, это игрушка, почти безделка, но вот именно из-за того, что в этой игре участвуют эти круговые перестановки, о которых мы еще наговоримся впоследствии, игрушка эта получает довольно серьезный смысл. А перевести 1-2-3 в 3-2-1 циклической перестановкой нельзя, как нельзя добиться, чтобы в зеркале было то же, что перед зеркалом. Значит, если у тебя стоит с самого начала какая-нибудь комбинация из круга "А", то ты можешь прийти к основной комбинации 1-2-3.

- 102 -

Это будет четный круг. Но если у тебя стоит комбинация из круга "Б", то ее перевести в основную комбинацию невозможно. Но это - круг нечетный. Попробуй теперь в основной комбинации 1-2-3 переставить две какие-нибудь рядом стоящие цифры.

Илюша переставил. Из 1-2-3 получилось 1-3-2, потому что он переставил 2 и 3.

- Вот теперь получился круг "Б".

- Переставь еще двух соседей.

Илюша поменял местами 3 и 1 и получил 3-1-2.

- А теперь получился круг "А".

- Ну, вот и всё! - сказал Радикс. - Ты, я думаю, и сам видишь, что если переставляешь соседей четное число раз, то получается тот же круг. А если переставишь нечетное число раз любых соседей, причем неважно - этих ли самых или каких-нибудь других, то ты переводишь все расположение во второй круг, и тогда вернуться к первому кругу, не вынимая шашек из коробочки, невозможно. А теперь возьмем какую-нибудь комбинацию шашек в самом маленьком Дразнилке. Ответь мне: можно ли сказать сразу, выйдет у тебя в данном случае или не выйдет?

- Сказать я могу, - отвечал мальчик, - потому что помню, какие комбинации относятся к какому кругу.

- Та-ак... - довольно кисло протянул Радикс. - Однако не в числе шашек дело, потому что всего интереснее располагать правилом, которое было бы пригодно для любого числа шашек. Разумеется, мы начнем с того, что выясним, какие комбинации относятся к какому кругу, но в дальнейшем нам придется рассуждать уже по-иному. Не так ли? Как тебе кажется?

- Мне кажется, что нам нужно найти правило, по которому можно было бы сразу установить, выйдет данная комбинация или нет. Ты говорил, что все дело в том, сколько раз я переставлял соседние шашки...

- Так. Ну и что же?

- По-моему, можно так рассуждать. Каждый раз я меняю местами две шашки, то есть одну пару. Значит, надо сосчитать, сколько есть таких пар, которые поменялись местами.

Так как я не знаю, как именно они переставлялись, то надо пересмотреть все пары, которые стоят не в том порядке, который нужен. Вот, например, я начинаю с комбинации 1-2-3, затем идет комбинация 2-1-3. Тут только одна пара нарушает порядок: единица и двойка.

- Можно сказать, - вставил Радикс, - что эта пара образует беспорядок, инверсию.

- 103 -

- Хорошо. Значит, у нас здесь одна инверсия. Каждую пару я буду считать только один раз. Дальше беру комбинацию 2-3-1. Здесь есть две пары, образующие инверсии. Первая пара - единица и двойка, вторая - единица и тройка.

Двойка и тропка стоят относительно друг друга в порядке. Значит, здесь две инверсии. Беру еще одну комбинацию: 3-2-1. Здесь три пары шашек нарушают порядок. Первая пара- тройка и двойка. Вторая пара - тройка и единица. Третья пара - двойка и единица. Всего здесь три инверсии. Как ты и говорил, при четном количестве инверсий задачка решается...

- А если нет ни одной?

- Если нет ни одной, то и делать нечего, все и так в порядке.

- А если нечетное число инверсий, то задачка не может быть решена. Если подсчитать число инверсий в любой комбинации, то можно сразу сказать, выйдет или не выйдет. Если инверсий четное число, то выйдет; если нечетное, то не выйдет.

- Хорошо, - сказал Радикс, - а теперь перейдем к большому Дразнилке. Как там надо считать число инверсий и какой установить порядок?

Илюша задумался.

- Да, - промолвил он, - они просто по кругу не располагаются.

Это ясно. Сейчас я попробую во всем разобраться. Ты не торопи меня. Ага, кажется, я начинаю кое-что понимать.

Начальный порядок там идет змейкой (верхний рисунок).

- Правильно. Так вот мы и будем далее считать, "змейку" как нормальное начальное расположение в Дразнилке. Если двигаться по "змейке", то инверсий не получится. Вдоль нашей "змейки" мы и будем отсчитывать число инверсий.

Теперь посмотрим, как вообще будет изменяться число инверсий, если мы возьмем какое-нибудь - любое - расположение (рисунок средний) и в нем передвинем на пустое место (оно у нас во втором столбце и во второй строке) одну из шашек той же строки, то есть "три" или "восемь".

- 104 -

- Если идти вдоль по "змейке", - отвечал внимательный Илюша, - то число инверсий не изменится. Только разрыв в "змейке", который образует пустышка, перейдет на другое место, а в остальном расположение останется такое же.

- Прелестно! - отметил Радикс. - Ну, а если я на это место подвину одну из шашек того же столбца, то есть "десять" или "шесть", тогда что случится?

- Можно сосчитать! - сказал Илюша. - В первом случае мы перейдем к положению нижнего рисунка, то есть от ряда (по "змейке")

1, - , 15, 14, 12, 8, 10, 3.

Раньше "десять" образовывало инверсию с "восемью", а теперь этого не будет, но зато появятся инверсии "пятнадцати", "четырнадцати" и "двенадцати" с "десятью"; в общем, окажется на три инверсии больше и на одну меньше - в итоге на две инверсии больше. Если же передвинуть не "десять", а "шесть", то в средних строчках вместо ряда мы получим ряд

12, 8,-, 3, 11, 6, 7, 5

мы получим ряд

12, 8, 6, 3, 11, - , 7, 5:

значит, "шесть" перескочит через "три" и "одиннадцать" и будет теперь образовывать новую инверсию с "тремя", потеряв свою старую с "одиннадцатью", - число инверсий совсем не изменится.

- Вообще, - сказал Радикс, - где бы ты ни оставил пустышку, каждый раз, когда на ее место подвинешь соседнюю шашку сверху или снизу, число инверсий или вовсе не изменится, или изменится на четное число.

Большая стрелка показывает, как идет "змейка".