Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма - Коллектив авторов

Очевидно, что на плечах Виета еще держалась вся тяжесть греческого наследия, в котором числа не имеют измерения, а геометрические фигуры — имеют. Комбинировать их нет смысла. Для греков понятие измерения неизбежно связано с умножением геометрических элементов: две перемноженные линии дают прямоугольник, а прямоугольник, умноженный на третью линию, дает параллелепипед.

Без сомнения, Рене Декарт (1596- 1650) — самая значительная фигура в философии XVII века, и больше всего примечателен отказ этого ученого верить во что-то, что невозможно доказать. Он родился в Лаз, в провинции Франции Турень, окончил университет Пуатье в области права, но вскоре поступил на военную службу в армию Морица Нассауского в войне Фландрии против Испании. Он также участвовал в Тридцатилетней войне под командованием герцога Максимилиана I Баварского, а также в осаде Ла- Рошели, которую Александр Дюма описал в своем романе о мушкетерах.

Когда Декарт служил в армии, у него случилось озарение: все истины должны быть связаны и основаны на первичной истине, то есть "я мыслю, следовательно, я существую". Декарт уверился в том, что разум — это путь к знанию. Большую часть своей жизни после увольнения из армии он провел в Голландской Республике, переезжая из университета в университет. В 1637 году ученый опубликовал "Рассуждение о методе" с приложениями. Через четыре года также увидели свет "Размышления о первой философии". Когда Декарта начал преследовать католический мир, его пригласила королева Швеции Кристина стать ее наставником. Говорят, что привычка королевы вставать рано и держать окна открытыми пошатнула здоровье мыслителя, который умер от воспаления легких 11 февраля 1650 года. Через 13 лет папа Александр VII включил работы Декарта в список запрещенных книг.

Ферма было не так-то просто освободиться от этого греческого наследия, которое мешало работе с более общими многочленами. Он достиг цели, но в своем привычном стиле, не подводя твердой теоретической базы к отказу применять вышеуказанный закон. Декарт, наоборот, обосновал свой отказ от закона однородности. Он был первым, кто использовал верхние индексы (к которым мы так привыкли) для обозначения операции возведения в степень, и он сделал это частично ради того, чтобы освободиться от недостатков предыдущей записи. Вот пример алгебраической записи Виета: В · A quad + + G planum А - Z solido. Quad, planum и solido — это степени, в которые возводятся A, G и Z соответственно для сохранения однородности, с явной геометрической интерпретацией. Декарт отказался от такой интерпретации, говоря: 

"Я сам долго был обманут этими названиями [квадрат, куб]... В конце концов после многочисленных экспериментов я заметил: нет ничего, что можно было бы решить с этой интерпретацией, чего нельзя было бы решить без нее проще и яснее и что от таких названий следует отказаться, чтобы они не путали мысли".

 Декарт утверждает, что если, например, треугольник с неким углом и сторонами а и 1 подобен треугольнику с тем же углом и сторонами ab и b, то все геометрические пропорции соотносятся друг с другом по масштабу и выбранная единица измерения произвольна. Другими словами, произведение ab, имеющее степень 2 и являющееся, следовательно, квадратом, совсем не отличается от линейного числа b. Так, не стоит думать, что представлены различные математические объекты. С точки зрения измерений они равны.

В итоге метод Виета забыли, и победил Декарт, что немаловажно: абсолютная верность Ферма своему, условно говоря, учителю Виету затмила собственный вклад тулузца, часто казавшийся тусклым его современникам и последователям, которые переняли запись и идеи Декарта. Это еще одна из причин, по которым Ферма оказался непонятым современниками.

Существует и еще одна грань работы Виета, которая повлияла на деятельность Ферма. Уже было сказано, что Виет верил (в основном оправданно) в свое аналитическое искусство, и эта вера шла рука об руку с некоторым презрением к синтетической форме доказательств, используемой греками. В работе "Введение в аналитическое искусство" (1571) Виет утверждал: поскольку в его анализе предполагалось, что все этапы доказательства обратимы, синтез в его греческой форме уже не нужен.

Ферма сделал данный принцип Виета одной из основ своего математического исследования. Наряду с его обычным нежеланием писать полные трактаты этот подход проясняет, почему он столкнулся с таким непониманием со стороны современников. Действительно, при нескольких аналитических этапах, которые позволяли ему (как он думал) разглядеть доказательство, для Ферма (как и для Виета) строить доказательство как у греков уже не имело смысла. Это было излишне. Проблема, конечно же, в том, что его современники не находились под таким влиянием аналитического метода Виета, как он. Ферма не смог увидеть данного несоответствия, что привело ко многим размолвкам и разочарованиям. Наконец, любопытно заметить, как уже было показано на некоторых примерах, что Ферма использовал символическую алгебру для своих изысканий, но почти всегда представлял результат в словесном виде. Таким образом, Ферма находился на рубеже двух традиций: между одним, древним, умирающим миром математики и другим, который только зарождался.

Настало время немного задержаться на хронологии. В этой книге в хронологическом порядке уже было рассказано почти о всей математической жизни Ферма. Но "другая жизнь" ученого, о которой сейчас пойдет речь, протекала параллельно и в некоторых случаях даже предваряла описанную нами, поэтому стоит вернуться назад во времени, в Бордо.

Ферма жил в Бордо во второй половине 1620-х годов. К тому времени он уже усовершенствовал свой метод максимумов и минимумов и начал восстанавливать работу Аполлония Пергского о плоских геометрических местах, прямой линии и круге. Это сочинение было утеряно, но тот факт, что Папп оставил описания многих античных работ, позволил математикам XV и XVI веков, которые превратились в настоящих археологов знания, попробовать восстановить утраченное. Деятельность Виета включала в себя, во-первых, такое восстановление, а во-вторых, перевод результатов классиков на новый язык аналитического искусства.

Ферма удалось в значительной степени восстановить работу Аполлония согласно тому, как ее резюмировал Папп, который обобщил 147 теорем и 8 лемм, но одна теорема мешала ему двигаться дальше. Частичное доказательство, которое он привел, его не удовлетворяло. По возвращении в Тулузу в 1631 году Ферма начал анализировать данную проблему в свете новых методов. Уже в 1635 году появляются явные признаки того, что он использовал эти методы для решения классических проблем. В конце концов он изложил свою теорию в маленьком трактате под названием "Введение к теории плоских и пространственных мест" (на латыни Ad locos pianos et solidos isagoge, далее — Isagoge), который послал в Париж Мерсенну и Робервалю в конце 1636-го — начале 1637 года. Именно тогда Ферма начал свою переписку с Мерсенном, наводняя Париж удивительными результатами, не только по теории чисел, но и по геометрии и тому, что с течением времени было названо анализом. Его работы привлекли внимание французского математика Жиля де Роберваля (1602-1675), который работал с похожими проблемами и стал преданным поклонником судьи из Тулузы.

Isagoge было первым этапом великой революции. Виет уже предлагал решения геометрических задач алгебраическими методами, но его задачи сводились к нахождению неких точек (выполнявших бы некое условие) или пересечений между простыми геометрическими фигурами, такими как прямая и круг, в которых решением неизменно была точка. Ферма пошел еще дальше, ему удалось достичь революционного результата: ни больше ни меньше — свести всю геометрию (царицу наук, согласно Платону) к скромной алгебре, служившей еще поколение назад только для решения числовых задач, не имеющих видимого математического значения. Тулузский математик изобрел аналитическую геометрию. Поспешим заметить, что другой великий мыслитель сделал то же самое почти одновременно и независимо. Это Рене Декарт, которому обычно приписывают первенство до такой степени, что координаты, которыми мы пользуемся, получили название "декартовых". Однако, хотя нет сомнений в том, что идеи у Декарта созрели раньше, чем у Ферма, именно тулузский ученый был первым, кто их опубликовал.