Логика для всех. От пиратов до мудрецов - Инесса Раскина

Первый вопрос трудный, потому что небо бывает разным. Кто думает, что небо голубое, пусть посмотрит на него во время дождя, на закате или ночью. Так что в реальной жизни на такой вопрос однозначно ответить нельзя. Но в математике принято упрощать жизнь. Например, настоящий пешеход нуждается в отдыхе, а в задаче на движение может идти много часов с постоянной скоростью. Поэтому и цвет неба можно считать постоянным. Давайте договоримся считать его голубым.

Второй вопрос трудный, потому что всякая сила относительна. Если сильный тот, кто может 5 раз подтянуться на турнике, то да. А если сильный тот, кто может поднять 50-килограммовую штангу, то нет. Чтобы рыцарь мог ответить на подобный вопрос, надо сначала четко сформулировать, какой человек считается сильным.

Третий вопрос поставлен абсолютно четко (в отличие от вопроса про силу), и на него есть однозначный ответ «да» или «нет» (в отличие от вопроса про небо). Только вот найти этот ответ математики безуспешно пытаются уже третий век. Вопрос этот называется проблемой Гольдбаха. Для ее решения простых договоренностей и объяснений явно недостаточно.

Чтобы избежать недоразумений, мы в этой книге постараемся не задавать рыцарю вопросов, на которые он не может ответить. И будем ставить вопрос об истинности только таких утверждений, про которые можно ясно сказать, истинны они или ложны. Такие утверждения в логике называются высказываниями.

Задача 1.1. Являются ли высказываниями следующие предложения?

1. Семеро одного не ждут.

2. У кошки четыре ноги.

3. 1 января 2001 года был вторник.

4. Любое четное число, не меньшее 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел

Это утверждение истинно.

Решение. 1. Нет. Не зная, о каких семерых, о каком одном и о каком моменте идет речь, определить истинность этого утверждения нельзя.

2. Да. Это истинное высказывание. Возможное замечание о несчастных трехногих кошках – излишняя придирка.

3. Да, это высказывание. Желающие определить его истинность могут обратиться к календарю или потратить несколько минут на расчеты. Автор готов сэкономить вам эти минуты: высказывание ложное, 1 января 2001 года был понедельник.

4. Да, это высказывание. Желающие определить его истинность могут потратить годы на изучение теории чисел. Успех не гарантирован. Автор не в силах вам помочь.

5. Нет. Про это утверждение нельзя ясно сказать, истинно оно или ложно: если это утверждение истинно, то оно истинно, а если ложно, то ложно. В логике вообще стараются не допускать утверждений, говорящих об истинности себя самих.

А теперь представим, что путешественник, находясь на острове рыцарей и лжецов, захотел искупаться. По дороге он встретил двух местных жителей, Боба и Доба, и спросил, на каком расстоянии в этом направлении находится пляж.

– Два километра, – хмуро буркнул Боб.

– Всего лишь 200 метров, – с любезной улыбкой возразил ему Доб.

Путешественник обрадовался, поскольку знал, что Боб лжец. «А раз Доб возразил лжецу, – подумал путешественник, – то он рыцарь». Какого же было удивление путешественника, когда ни через 200 метров, ни через 2 километра пляжа не оказалось! А через 5 километров он дошел до скалистого берега с табличкой «Купаться запрещено!» И Боб, и Доб оказались лжецами.

Впрочем, если бы путешественник получше разбирался в логике, он бы не удивлялся. Высказывания «Пляж находится в 200 метрах отсюда» и «Пляж находится в двух километрах отсюда» не являются противоположными. В описанном случае они оба оказались ложными. При других условиях они могли бы и одновременно оказаться истинными (вдоль дороги может находиться сколько угодно пляжей).

А может ли рыцарь так возразить лжецу, чтобы не было никаких сомнений в его правдивости? Может. Например, если лжец говорит: «В двух километрах отсюда есть пляж», достаточно сказать: «Неверно, что в двух километрах отсюда есть пляж». Или выразить ту же мысль короче: «В двух километрах отсюда нет пляжа». Никаких сомнений не возникнет: либо пляж есть, либо его нет. Из двух высказываний:

1) в двух километрах отсюда есть пляж;

2) в двух километрах отсюда нет пляжа одно обязательно истинно, а второе ложно.

Подведем итог:

• К каждому высказыванию существует противоположное. Для его построения перед любым высказыванием можно добавить слова «Неверно, что…». Есть и другие способы, о них поговорим на этом и следующих занятиях.

• Высказывание, противоположное данному, называют его отрицанием.

• Из двух противоположных высказываний всегда одно является истинным, а другое ложным. Другими словами, всегда истинно либо само высказывание, либо его отрицание (но не то и другое одновременно).

Последнее предложение называется законом исключенного третьего. Его часто произносят в виде афоризма «третьего не дано».

Задача 1.2. Являются ли противоположными высказывания:

1) «Вчера светило солнце» и «Вчера шел дождь»;

2) «Я умею прыгать через лужи» и «Я не умею прыгать через лужи»?

Решение. 1) Нет. Возможно, вчера было пасмурно, но без осадков (или шел снег). С другой стороны, в один и тот же день вполне мог идти дождь и светить солнце.

2) Да. Можно либо уметь что-либо делать, либо не уметь.

Задача 1.3. Постройте отрицания к высказываниям, не пользуясь оборотом «Неверно, что…»:

1) Я встретил Вас.

2) Трудно быть богом.

Решение. 1) Построить отрицание помогает частица «не». Получается высказывание «Я не встретил Вас», противоположное исходному. Подумайте, почему высказывания «Не я встретил Вас» и «Я встретил не Вас» отрицаниями не являются.

2) Во втором лучше слово «трудно» заменить антонимом, получится, что «Богом быть легко».

Задача 1.4*. Британские ученые нашли древнюю рукопись, содержащую всего два утверждения:

1) Оба утверждения этой рукописи ложны.

2) Земля имеет форму чемодана.

Какой вывод можно сделать из этой рукописи?

Обсуждение. Пусть первое утверждение истинно. Тогда оно ложно. Противоречие. Значит, первое утверждение ложно, то есть хотя бы одно из утверждений рукописи истинно. Но в ложности первого мы уже убедились. Следовательно, истинно второе: британские ученые доказали, что Земля имеет форму чемодана.

Решение. Разумеется, «доказательство» содержит ошибку. Но какую? Рукописи не существует? Ну и что, ее не поздно и сейчас написать. Дело в другом. В первом утверждении говорится о ложности его самого. Как сказано в решении задачи 1.1 (п. 5), в логике не рассматриваются высказывания, говорящие о своей истинности или ложности. В частности, к ним нельзя применять закон исключенного третьего.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.5. Объясните, почему данные предложения не являются высказываниями. Можете ли вы сконструировать аналогичные по смыслу высказывания? Как вы думаете, истинны ли они?

1. Семь раз отмерь, один раз отрежь.

2. Что нам стоит дом построить: нарисуем – будем жить.

3. Шел дождь.

Задача 1.6. Придумайте несколько высказываний и несколько предложений, не являющихся высказываниями.

Задача 1.7. Являются ли противоположными высказывания:

1) «Нельзя пользоваться калькулятором на уроках математики» и «На уроках математики можно пользоваться калькулятором»;

2) «Андрей выше Мити» и «Митя выше Андрея»?

Задача 1.8. Постройте отрицания к высказываниям, не

пользуясь оборотом «Неверно, что…»:

1) Завтра дальняя дорога выпадает королю.

2) У него деньжонок много.

3) А я денежки люблю.

Задача 1.9. 1) Директор школы категорически возражает против отмены контроля за прическами. Может ли Степа безнаказанно покрасить волосы в малиновый цвет?

2) Директор школы категорически возражает против отмены решения о запрете контроля за прическами. Может ли Степа безнаказанно покрасить волосы в малиновый цвет?

Задача 1.10*. Житель острова Крит говорит: «Все критяне лжецы». Истинно или ложно это высказывание? (В этой задаче Крит считается островом рыцарей и лжецов.)

Задача 1.11. К каждому из высказываний сформулируйте отрицание. Определите, что верно: утверждение или его отрицание.

1) Сумма двух двузначных чисел – двузначное число.

2) Сумма двух четных чисел – четное число.

3) Прямоугольник размером 20 х 15 можно разрезать на прямоугольники размером 3x5.

4) Квадрат размером 2015 х 2015 можно разрезать на прямоугольники размером 20 х 15.

5) В нашей школе найдутся два ученика, имеющие одинаковое число друзей среди учеников нашей школы.

6) * Через отверстие, прорезанное в листке из школьной тетради, человек пролезть не может.

Занятие 2

Урок русского языка, или «Все», «некоторые» и отрицание