Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма - Коллектив авторов

1620 Изучал право в Тулузе в течение пяти лет.

1625 Четыре года прожил в Бордо, где общался с французским математиком Жаном де Бограном.

1631 Закончил обучение в Орлеане 1 мая. Получил должность советника в парламенте Тулузы.

1636 Первое письмо философу Марену Мерсенну. Создал трактат об аналитической геометрии «Введение к теории плоских и пространственных мест». Разработал свой метод максимумов и минимумов.

1637 Формулировка Великой теоремы.

1638 Начало полемики с «соперником» Рене Декартом о методе максимумов и минимумов и его применении к касательным.

1640 Обнародование малой теоремы Ферма.

1641 Охлаждение отношений с Бернаром Френиклем и Пьером Брюларом.

1643 Объяснил основы своего метода в «Аналитическом исследовании», одной из самых важных его ученых записок.

1652 Заболел чумой. Друг ученого Бернар Медон ложно объявил о его смерти.

1654 Поддерживал переписку с Блезом Паскалем, в результате чего были заложены основы теории вероятностей.

1657 Полемика с Джоном Уоллисом и Уильямом Браункером об уравнении Пелля.

1658 Написал «Трактат о квадратурах», в котором расширил применение своего метода. Начал споры о «Диоптрике» с картезианцем Клодом Клерселье.

1659 Начал переписку с нидерландским математиком Христианом Гюйгенсом.

1660 Создал «Трактат о спрямлении», в котором отошел от своего аналитического метода и использовал синтетический метод греков.

1665 Скончался 12 января в городе Кастр, рядом с Тулузой.

ГЛАВА 1

Теорема, которую доказывали 350 лет

Несмотря на свою кажущуюся простоту, Последняя теорема Ферма мучила самых лучших математиков в мире не больше и не меньше, чем 350 лет. Раз за разом они пытались доказать ее и всегда терпели неудачу, пока в конце XX века одному британскому математику не удалось сделать то, что до тех пор казалось невозможным.

Представим себе на мгновение: человек с длинными волосами, ссутулившийся, склоняется при свете свечи над экземпляром «Арифметики» греческого математика Диофанта Александрийского (ок. 214 — ок. 298). Прочитав одну из его теорем, он немного размышляет, улыбается, смачивает перо и на полях книги пишет фразу на латыни. Делает паузу, снова берет перо и добавляет: «[...] cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hone margnis exiguitas non caperet». To есть: «[...] я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы записать его».

Очевидно, вскоре этот человек пошел спать. На следующий день его ждали срочные дела в парламенте. Мы не знаем, сколько раз он вспоминал об этой маленькой записи. Возможно, он так и не вернулся к мысли о ней. Мог ли он подумать, что его немногочисленные слова породят одну из самых страстных одиссей в истории математики и что в течение веков они будут мучить самые блистательные умы в мире? Маловероятно. Пьер де Ферма — главное действующее лицо описанной нами сцены — увлекался играми и головоломками, но вряд ли той ночью он предвидел, что создал самую знаменитую математическую загадку всех времен.

Действительно, потомки узнали о ней, можно сказать, чудом. В виде личной заметки на полях книги она могла просто исчезнуть наряду с другими более или менее многочисленными тривиальными мелочами в жизни. Но эта пометка пережила своего автора, ее открыли и напечатали, и она превратилась в царицу задач, которые, казалось, невозможно решить. Мир продолжал вращаться. В эпоху Ферма Францией правил кардинал Ришелье, что описано Александром Дюма в бессмертных "Трех мушкетерах", в то время как король предавался развлечениям. Ришелье умер; Франция прошла через ряд восстаний, известных как Фронда; был Король-Солнце, а затем Просвещение, Революция, бурный XIX век и еще более драматичный XX век. И пока текла история, теорема, которую Ферма, по его словам, доказал, оставалась по-прежнему недоказанной, выдерживая все атаки, все попытки раскрыть ее тайну: это доказательство, которое не помещалось на полях, также не находило места и в умах самых великих математиков.

Ускорим наше повествование. Сейчас мы в 1993 году, в мире компьютеров. Распался СССР. Еще не существует социальных сетей, но есть их предок под названием юзнет, на который были подписаны только люди, связанные с академическим миром, — их абсурдно мало по сравнению с современными пользователями различных социальных сетей. Вдруг эта первоначальная сеть, обычно сонная, начала кипеть от возбуждения. Сообщения следовали друг за другом как молнии, сопровождаемые терминами, которые неспециалист не мог бы понять: модулярные функции, эллиптические кривые, группы Галуа, теория Ивасавы, гипотеза Таниямы-Симуры.

Постепенно в сети складывалась картина того, что произошло. Эндрю Уайлс, британский математик, специалист в области эллиптических кривых, прочитал в Институте Исаака Ньютона в Кембридже три лекции, в течение которых он постепенно, терпеливо, применив драматическое искусство, достойное Лоуренса Оливье, подводил слушателей к неизбежному результату.

В течение нескольких лет Уайлс работал секретно, как алхимик, не делясь ни с кем не то что результатами, но даже темой своего проекта. Он не хотел, чтобы кто-нибудь забрал его славу решения одной из самых сложных проблем в мире математики.

Хотя и ходили какие-то слухи в виде электронных писем, когда какой-нибудь коллега спрашивал его о содержании лекций, он ограничивался тем, что улыбался и отвечал: "Приходи на лекции и увидишь".

Такая таинственность подстегивала любопытство. Итак, аудитория из 200 человек, состоящая из опытных специалистов и некоторых докторантов, кипела с каждой проходящей минутой. Когда Уайлс объявил о лекциях, он хорошо постарался спрятать проект под внешне безобидным названием. Однако по мере того как он продвигался в изложении, ученые начинали понимать, о чем идет речь. Они писали электронные письма в паузах между лекциями, находясь в ожидании того, что, как они себе представляли, должно было произойти. В гробовом молчании аудитории докладчик заполнял доску за доской сложнейшей математикой. Наконец, Уайлс написал еще несколько строчек, дополняющих доказательство, сделал драматическую паузу и нацарапал то, что утверждается в Последней теореме Ферма. Улыбаясь, он повернулся к публике и сказал: "Думаю, что остановлюсь здесь".

Защелкали фотоаппараты, начались овации, аплодисменты. Одна из самых сложных проблем в мире (она же — одна из самых старых нерешенных задач) в конце концов пала под натиском систематической атаки блестящего математика, который более десятилетия работал один. Но как это возможно? Неужели Уайлс открыл доказательство Ферма? Нет, история намного сложнее. На самом деле аплодисменты были преждевременными: в доказательстве Уайлса содержалась роковая ошибка. Самоизоляция сыграла с ним плохую шутку: поскольку ученый не делился своими достижениями, никто не смог указать ему на это. А в математике только одна ошибка, только один ложный шаг делает непригодным все доказательство: оно разваливается, как карточный домик, из которого убрали лишь одну из карт. Так что сокрушенному Уайлсу пришлось вернуться в кабинет и продолжить работу, чтобы получить неопровержимое доказательство, которое ему наконец удалось опубликовать в 1994 году. Но оставим на некоторое время Уайлса в момент его наивысшей славы.

Пора вернуться к Ферма и ознакомиться с его последней теоремой. Вывод, который математик записал на латыни на небольших полях книги, был следующим:

"Невозможно записать куб в виде суммы двух кубов или четвертую степень в виде суммы двух четвертых степеней, и в целом любое число, являющееся степенью больше двух, не может быть записано в виде суммы двух степеней того же уровня".

В современной алгебраической записи эта теорема утверждает, что уравнение хⁿ + уⁿ = zⁿ при n > 2 не имеет натуральных решений; то есть не существует натуральных чисел и которые соответствуют заданному условию: иметь кубическую (или большую) степень, которая была бы суммой двух кубических степеней (или больших того же уровня).