Занимательная математика - Георгий Гамов

Однажды великий султан ибн-аль-Каз столкнулся с поистине сложной проблемой. Его верховный визирь настаивал, чтобы султан издал соответствующие законы, дабы установить контроль над соотношением мужчин и женщин в будущем населении страны. Свои весьма настойчивые просьбы визирь обосновывал тем, что поскольку мальчиков и девочек рождается примерно поровну, представителям знатных, но обедневших родов становится все труднее набирать гаремы, количество обитательниц которых соответствовало бы знатности рода. Сам султан был убежденным сторонником моногамии, но, разумеется, не мог становиться в оппозицию по отношению к визирю и тем более к господствовавшей в стране религии. Некоторое время султан молчал, погруженный в размышления, и только что-то бормотал себе под нос о случайных последовательностях. Наконец, на лице его появилась улыбка облегчения, означавшая, что головоломная задача решена, и султан обратился к визирю со словами:

Решение проблемы очень просто! Я издам указ, по которому всем женщинам страны разрешается продолжать вынашивать очередного ребенка, только если до этого у них рождались девочки. Как только у женщины рождается первый сын, ей запрещается впредь рожать детей. За неповиновение этому закону наказанием будет изгнание за пределы Квазиабабии!

Все еще улыбаясь, султан продолжал:

Этот закон, несомненно, возымеет то действие, о котором ты так печешься. Когда он будет объявлен и вступит в действие, ты увидишь женщин, у которых в семье будет четыре девочки и один мальчик, десять девочек и один мальчик, возможно, один-единственный мальчик и т. д. Отношение числа женщин к числу мужчин явно должно возрасти, как ты того и добивался.

Визирь, слушавший разъяснения султана по поводу будущего закона затаив дыхание, внезапно начал проявлять признаки понимания и встал в явно приподнятом настроении. Наконец-то он склонил султана к своему мнению! Визирь покинул султана и поспешил прочь: ему не терпелось распространить весть об одержанном им триумфе в формировании будущего страны.

Молодой принц невольно оказался свидетелем разговора и слышал формулировку нового закона. Со слезами на глазах он смиренно предстал перед отцом и, обращаясь к нему, воскликнул:

— О великий султан, неужели ты поддашься прихотям этого фанатика?

Султан засмеялся и знаком показал, чтобы сын приблизился:

— Я и не думал поддаваться этим дурацким требованиям.

— Но, отец, ведь ты…

— Хо-хо! — рассмеялся султан. Позволь мне объяснить истинный смысл закона, который я только что издал. В действительности мой закон будет по-прежнему поддерживать равную долю мужчин и женщин в населении моей страны.

— Но каким образом, отец? Я не понимаю.

— Проще всего это можно понять следующим образом, — ответил султан. — Предположим для простоты, что все женщины Ивазиабабии одновременно рожают своего первого ребенка. Девочек и мальчиков среди первенцев поровну — половина девочек и половина мальчиков. На этом этапе соотношение мужчин и женщин мы сохранили на прежнем уровне один к одному.

Закон требует, чтобы половина женщин, родивших первенца мальчика, больше не имела детей. Другая половина женщина родит по второму ребенку. Но втором «раунде» мальчиков и девочек будет поровну, т. е. мальчиков будет столько же, сколько девочек. Поэтому если мы объединим результаты первого и второго «раундов», то отношение количества мальчиков к количеству девочек окажется одним к одному.

После второго раунда половина женщин (т. е. те, кто родил второго ребенка мальчика) выбывает, а остальная половина женщин (те, кто родил второго ребенка — девочку) допускаются к участию в третьем «раунде». И опять одна половина родившихся младенцев окажется мальчиками, а другая половина девочками.

Так что, сын мой. отношение между количеством мужчин и количеством женщин сохраняется. Поскольку каждый раз (в каждом «раунде») отношение количества мальчиков к количеству девочек остается один к одному, то при суммировании результатов всех раундов отношение один к одному сохраняется.[2]

Великий султан ибн-аль-Каз был очень обеспокоен большим количеством неверных жен среди жительниц столицы его государства. Сорок женщин открыто изменяли своим мужьям, но, как это часто бывает, хотя об их неверности знали все, их мужья оставались в полном неведении относительно поведения своих жен. Дабы наказать падших женщин, султан издал указ, разрешавший мужьям неверных жен убивать их, разумеется, если мужья вполне уверены в измене нечестивиц.

В указе султана ничего не говорилось о числе неверных жен и не назывались их имена. Говорилось только, что такие случаи в главном городе Квазиабабии известны, и предлагалось мужьям предпринять что-нибудь для неповторения супружеских измен впредь. Но к великому удивлению законопослушных подданных султана и всей городской полиции ни в день объявления указа, ни в последующие дни не стало известно ни об одном случае убийства неверной жены мужем. Прошел целый месяц никаких результатов. Стало создаваться впечатление, что обманутые мужья не очень-то заботятся о том, чтобы спасти свою поруганную честь.

— О великий султан, не объявить ли нам имена сорока неверных жен, — предложил однажды визирь ибн-аль-Казу, — коль скоро мужья слишком ленивы, чтобы самим справиться со своими проблемами?

— Нет, — возразил султан, — подождем. Мои подданные ленивы, но они, несомненно, весьма хитроумны и очень мудры. Я совершенно уверен, что очень скоро последуют действия.

И, действительно, на сороковой день после оглашения указа действия внезапно последовали. В одну ночь были убиты сорок женщин.

Как показало незамедлительно проведенное расследование, это были те самые сорок распутниц, которые, как всем было известно, изменяли своим мужьям.

— Не понимаю, — воскликнул пораженный случившимся визирь, — почему сорока обманутым мужьям потребовалось так много времени, чтобы предпринять решительные действия, и почему они предприняли, наконец, действия в один и тот же день?

— Все очень просто, мой дорогой Ватсон, — засмеялся султан. — Должен признаться, я ожидал, что добрая весть придет именно в тот день, когда она пришла. Мои подданные, как я уже говорил, может быть, очень ленивы, чтобы организовывать слежку за женами и устанавливать их верность или неверность, но они показали, что достаточно умны, чтобы разрешить возникшую проблему путем чисто логического анализа.

— Боюсь, что не понимаю тебя, о великий султан, — промолвил визирь.

Немного терпенья. Предположим, что неверных жен не сорок, а всего лишь одна. В этом случае все, за исключением одного-единственного человека — ее мужа, знают о ее прелюбодеянии. Но ее муж, пребывая в убеждении, что его жена верна ему, и оставаясь в неведении относительно других случаев нарушения супружеской верности (о чем он, несомненно, услыхал бы), был бы в полном убеждении, что все жены в городе, в том числе и его собственная жена, верны своим мужьям.

Если бы он прочитал мой указ, в котором говорится о том, что в городе есть неверные жены, то понял бы, что речь может идти только о его собственной жене. И тогда он убил бы ее в самую первую ночь после объявления моего указа, ты следишь за ходом моих рассуждений?

Да, государь, ответствовал визирь.

Предположим теперь, — продолжал султан, что обманутых мужей двое. Назовем их Абдулой и Хаджибабой. Абдула знает, что жена Хаджибабы изменяет своему мужа, а Хаджибаба располагает аналогичными сведениями о жене Абдулы. Но каждый из них считает, что его собственная жена ему верна.

В день обнародования моего указа Абдула говорит себе:

— Ага, Сегодня ночью Хаджибаба убьет свою жену. С другой стороны, Хаджибаба думает то же самое об Абдуле. Но то, что на следующее утро жены того и другого все еще живы, доказывает и Абдуле, и Хаджибабе, что они ошибались, думая, будто их жены им верны. И тогда на вторую ночь оба пустили бы в ход кинжалы, и жены обоих были бы убиты.

— До сих пор я проследил за ходом твоих рассуждении, о великий султан, — заверил своего повелителя визирь. — но как быть, если неверных жен три или больше?

В этом случае нам придется прибегнуть к тому, что принято называть математической индукцией. Я только что доказал тебе, что если бы в городе было только две неверные жены, то мужья в силу чисто логической дедукции должны были бы убить их на вторую ночь после обнародования моего указа. Но предположим, что теперь неверные жены у трех моих подданных, назовем их Абдулой, Хаджибабой и Фаруком. Фарук, разумеется, знает, что жены Абдулы и Хаджибабы неверны своим мужьям, и ожидает, что Абдула и Хаджибаба убьют своих жен на вторую ночь. Но те почему-то этого не делают. Почему?