Большая Советская Энциклопедия (АЛ) - БСЭ БСЭ

  Если приравнять многочлен нулю (или вообще какому-либо определённому числу), мы получим алгебраическое уравнение. Исторически первой задачей А. было решение таких уравнений, т. е. нахождение их корней — тех значений неизвестной величины х, при которых многочлен равен нулю. С древних времён известно решение квадратного уравнения х2 + px + q =0 в виде формулы:

  Алгебраическое решение уравнения 3-й и 4-й степеней было найдено в 16 в. Для уравнения вида x3 + px + q = 0 (к которому можно привести всякое уравнение 3-й степени) оно даётся формулой:

  Эта формула называется формулой Кардано, хотя вопрос о том, была ли она найдена самим Дж. Кардано или же заимствована им у других математиков, нельзя считать вполне решенным. Метод решения алгебраических уравнений 4-й степени указал Л. Феррари . После этого начались настойчивые поиски формул, которые решали бы уравнения и высших степеней подобным образом, т. с. сводили бы решение к извлечениям корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трёх столетий, и лишь в начале 19 в. Н. Абель и Э. Галуа доказали, что уравнения степеней выше 4-й в общем случае в радикалах не решаются: оказалось, что существуют неразрешимые в радикалах уравнения n-й степени для любого n, большего или равного 5. Таково, например, уравнение x5 - 4x - 2 = 0. Это открытие имело большое значение, т. к. оказалось, что корни алгебраических уравнений — предмет гораздо более сложный, чем радикалы. Галуа не ограничился этим, так сказать, отрицательным результатом, а положил начало более глубокой теории уравнений, связав с каждым уравнением группу подстановок его корней. Решение уравнения в радикалах равносильно сведению первоначального уравнения к цепи уравнений вида: y m = а , которое и выражает собой, что

  Сведение к таким уравнениям оказалось в общем случае невозможным, но возник вопрос: к цепи каких более простых уравнений можно свести решение уравнения заданного? Например, через корни каких уравнений корни заданного уравнения выражаются рационально, т. е. при помощи четырёх действий — сложения, вычитания, умножения и деления. В таком более широком понимании Галуа теория продолжает развиваться вплоть до нашего времени.

  С чисто практической стороны для вычисления корней уравнения по заданным коэффициентам не было особой необходимости в общих формулах решения для уравнений высших степеней, т. к. уже для уравнений 3-й и 4-й степеней такие формулы практически мало полезны. Численное решение уравнений пошло иным путём, путём приближённого вычисления, тем более уместным, что на практике (например, в астрономии и технике) и сами коэффициенты обычно являются результатом измерений, т. е. известны лишь приближённо, с той или иной точностью.

  Приближённое вычисление корней алгебраических уравнений является важной задачей вычислительной математики, и к настоящему времени разработано огромное число приёмов её решения, в частности с использованием современной вычислительной техники. Но математика состоит не только из описания способов вычисления. Не менее важна — даже для приложений — другая сторона математики: уметь чисто теоретическим путём, без вычислений, дать ответ на поставленные вопросы. В области теории алгебраических уравнений таким является вопрос о числе корней и их характере. Ответ зависит от того, какие числа мы рассматриваем. Если допустить положительные и отрицательные числа, то уравнение 1-й степени всегда имеет решение и притом только одно. Но уже квадратное уравнение может и не иметь решений среди т. н. действительных чисел; например, уравнение x2 + 2 = 0 не может быть удовлетворено ни при каком положительном или отрицательном х, т. к. слева всегда окажется положительное число, а не нуль. Представление решения в виде

  не имеет смысла, пока не будет разъяснено, что такое квадратный корень из отрицательного числа. Именно такого рода задачи и натолкнули математиков на т. н. мнимые числа. Ещё раньше отдельные смелые исследователи ими пользовались, но окончательно они были введены в науку только в 19 в. Эти числа оказались важнейшим орудием не только в А., но и почти во всех разделах математики и её приложений. По мере того как привыкали к мнимым числам, они теряли всякую таинственность и «мнимость», почему теперь их и называют чаще всего не мнимыми, а комплексными числами .

  Если допускать и комплексные числа, то оказывается, что любое уравнение n- й степени имеет корни, причём это верно и для уравнений с любыми комплексными коэффициентами. Эта важная теорема, носящая название основной теоремы А., была впервые высказана в 17 в. французским математиком А. Жираром, но первое строгое доказательство её было дано в самом конце 18 в. К. Гауссом , с тех пор были опубликованы десятки различных доказательств. Все эти доказательства должны были, в той или иной форме, прибегнуть к непрерывности; т. о., доказательство основной теоремы А. само выходило за пределы А., демонстрируя лишний раз неразрывность математической науки в целом.

  Если xi — один из корней алгебраического уравнения

a0 xn + a1 xn-1 + ... + an = 0,

  то легко доказать, что многочлен, стоящий в левой части уравнения, делится без остатка на х — xi . Из основной теоремы А. легко выводится, что всякий многочлен n-й степени распадается на n таких множителей 1-й степени, т. е. тождественно:

a 0 x n + a 1 x n-1 + ... +a n = a 0 (x -x 1 )(x -x 2 ) ... (x -x n ),

причём многочлен допускает лишь одно единственное разложение на множители такого вида.

  Таким образом, уравнение n- й степени имеет n « корней». В частных случаях может оказаться, что некоторые из множителей равны, т. е. некоторые корни повторяются несколько раз (кратные корни); следовательно, число различных корней может быть и меньше n. Часто не так важно вычислить корни, как разобраться в том, каков характер этих корней. Как пример приведём найденное еще Декартом «правило знаков»: уравнение имеет не больше положительных корней, чем число перемен знака в ряду его коэффициентов (а если меньше, то на чётное число). Например, в рассмотренном выше уравнении x5 - 4x - 2 = 0 одна перемена знака (первый коэффициент — положительный, остальные — отрицательные). Значит, не решая уравнения, можно утверждать, что оно имеет один и только один положительный корень. Общий вопрос о числе действительных корней в заданных пределах решается Штурма правилом . Очень важно, что y уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни могут являться только парами: наряду с корнем а + bi корнем того же уравнения всегда будет и a - bi. Приложения ставят иногда и более сложные задачи этого рода; так, в механике доказывается, что движение устойчиво, если некоторое алгебраическое уравнение имеет только такие корни (хотя бы и комплексные), у которых действительная часть отрицательна, и это заставило искать условия, при которых корни уравнения обладают этим свойством (см. Рауса — Гурвица проблема ).

  Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т. е. системы т уравнений 1-й степени с n неизвестными:

a 11 x 1 +...+a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 +...+a 2n x n = b 2 ,

...............................

a m1 x 1 +...+a mn x n = b m .

  Здесь x 1 ..., x n  — неизвестные, а коэффициенты записаны так, что значки при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем уравнений 1-й степени определяется не только тем, что они — простейшие. На практике (например, для отыскания поправок в астрономических вычислениях, при оценке погрешности в приближённых вычислениях н т. д.) часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь (ввиду их чрезвычайной малости), так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г. Лейбниц (1700) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов a ik и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n ) строить т. н. определители , при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие таблицы, или матрицы , стали предметом самостоятельного изучения, т. к. обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Теория систем линейных уравнений и теория матриц в настоящее время стали частями важной отрасли науки — линейной алгебры .