Философия Науки. Хрестоматия - Авторов Коллектив

Б.Л. Яшин

Фрагменты приводятся по изданию:

Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.

Под математическим способом мышления я понимаю, во-первых, особую форму рассуждений, посредством которых математика проникает в науки о внешнем мире — в физику, химию, биологию, экономику и т.д. и даже в наши размышления о повседневных делах и заботах, и, во-вторых, ту форму рассуждений, к которой прибегает в своей собственной области математик, будучи предоставленным самому себе. В процессе мышления мы пытаемся постичь разумом истину; наш разум стремится просветить себя, исходя из своего опыта. Поэтому, подобно самой истине и опыту, мышление по своему характеру есть нечто довольно однородное и универсальное. Влекомое глубочайшим внутренним светом, оно не сводится к набору механически применяемых правил и не может быть разделено водонепроницаемыми переборками на такие отсеки, как мышление историческое, философское, математическое и другое. Мы, математики, не ку-клукс-клан с неким тайным ритуалом мышления. Правда, существуют — скорее внешне — некоторые специфические особенности и различия; так, например, процедуры установления фактов в зале суда и в физической лаборатории заметно различаются. Тем не менее, вряд ли можно ожидать от меня, что математический способ мышления я опишу более ясно, чем, скажем, можно описать демократический образ жизни (С. 6).

<...> современное математическое исследование часто представляет собой искусно составленную смесь конструктивной и аксиоматической процедур. Взаимопроникновение этих процедур, возможно, и должно вызывать чувство удовлетворения. Однако велико искушение принять один из двух подходов в качестве подлинно, исконно математического образа мышления, а другому отвести вспомогательную роль; и если такой выбор — в пользу конструкции или в пользу аксиомы — произведен, то принятую точку зрения действительно удается развить последовательно и до конца.

Рассмотрим сначала первую альтернативу. Приняв ее, мы должны считать, что математика есть прежде всего конструкция. Используемые в математике системы аксиом лишь устанавливают границы области значений тех переменных, которые участвуют в конструкции <...> (С. 21-22).

<...> Если принять противоположную точку зрения, то конструкция оказывается подчиненной аксиомам и дедукции, математика же предстает в виде системы аксиом, выбор которых зависит от соглашения, и выводимых из них заключений. В полностью аксиоматизированной математике конструкции отводится второстепенная роль: к ней прибегают при построении примеров, образующих мост между чистой теорией и ее приложениями. Иногда существует лишь один пример, потому что аксиомы определяют некий объект однозначно или по крайней мере с точностью до изоморфизмов; в этом случае необходимость перехода от аксиоматической структуры к некоторой явной конструкции становится особенно настоятельной. Еще более существенно отметить, что хотя аксиоматическая система и не предполагает построения математических объектов, она, комбинируя и неоднократно используя логические правила, строит математические суждения. Действительно, извлечение следствий из заданных посылок происходит по определенным логическим правилам, которые со времен Аристотеля неоднократно пытались свести в единый полный перечень. Таким образом, на уровне суждений аксиоматический метод есть чистейшей воды конструктивизм. В наши дни Давид Гильберт довел аксиоматический метод до горького конца, когда суждения математики, включая аксиомы, превратились в формулы и игра в дедукцию свелась к выводу из аксиом тех или иных формул по правилам, не учитывающим смысла формул <...> (С. 22-23).

<...> расхождение между явной конструкцией и неявным аксиоматическим определением затрагивает самые основы математики. Конструктивный опыт перестает подкреплять принципы аристотелевской логики, когда эти принципы применяются к экзистенциальным или общим суждениям, относящимся к бесконечным областям, таким, как последовательность целых чисел или континуум точек. Если же мы примем во внимание логику бесконечного, то нам вряд ли удастся адекватно аксиоматизировать даже самые примитивные процессы, например, переход п —> п', т.е. от целого числа п к следующему числу п'. Как показал К.Гедель, всегда найдутся конструктивно очевидные арифметические суждения, не выводимые из аксиом, как бы вы их ни формулировали, и в то же время аксиомы, безраздельно правящие всеми тонкостями конструктивной бесконечности, выходят далеко за пределы того, что может быть подтверждено опытом. Нас не удивляет, что фрагмент природы, взятый в своем феноменальном изолированном бытии, бросает вызов нашему анализу с его незавершенностью и неполнотой; именно ради полноты, как мы видели, физика проецирует то, что дано, на то, что могло бы быть. Но удивительно другое: конструкция, порожденная разумом, — последовательность целых чисел, эта простейшая и самая прозрачная для конструктивного ума вещь, — обретает аналогичную неясность и ущербность, если подходить к ней с позиций аксиоматики. Но тем не менее это факт, отбрасывающий зыбкий отблеск на взаимосвязь опыта и математики. Несмотря на проницательность критической мысли — а может быть, благодаря ей, — мы теперь гораздо меньше, чем наши предшественники, уверены в тех глубинных устоях, на которых покоится математика (С. 23)

Числа и математические символы составляют не только строительный материал, из которого подлинная теоретическая наука о природе стремится воздвигнуть свое здание; наряду с этим на протяжении всей истории человеческого духа существовала магия чисел, которая делает число символом земной и божественной действительности в совершенно ином смысле. Простое выражение и причудливое смешение обеих форм мы находим уже у Пифагора, этой таинственной личности в духовной истории Греции. Нечетные и четные числа, по Пифагору, представляют мужской и женский принципы. Число 4 — квадрат — становится символом справедливости (не является ли следом подобных представлений английское выражение «square deal»? [«честная сделка, честный поступок». — Fed.]). Для каждого числа от 2 до 7 у народов всех эпох и регионов можно указать множество магических значений; 3 и 7 играют особо выдающуюся роль, но во многих местах излюбленным является также и 9, «число ангелов». В своей «Vita Nuova» (XXX, 26-27) Данте говорит о Беатриче, что число 9 было числом ее подлинной сущности. Но и при самой рафинированной разработке теоретико-числовые свойства, которые приписываются числам в качестве источников их магической силы, всегда остаются простыми (математик сказал бы — слишком простыми). «Совершенные числа» Пифагора <...> — это самое сложное, что мы здесь находим. Платон перенял большую часть пифагорейской числовой мудрости, но число жителей идеального города, которое он положил равным 5040 = 7!, а также очень нежно описанное число, выражающее возраст зрелости в «Государстве», является, как кажется, его собственным нумерологическим изобретением. Августин и Филон много содействовали «теоретико-числовой экзегезе» [Экзегеза (экзегетика) — от греч. — объяснение. — Ред.] Священного писания. Средние века страстно предавались числовой магии. В народных суевериях до сих пор кое-что из этого сохранилось вживе, например, ужас перед числом тринадцать. Я причисляю сюда и астрологию — даже в том случае, когда ею прельщался такой просвещенный и глубоко проникший в истину ум, как Кеплер. Может быть, стоит проследить все это в исторической взаимосвязи, но от меня не надо ждать здесь более подробного обсуждения этой стороны математического символизма. Я хотел бы только указать на одну черту, которая кажется характерной для этого способа мышления: то, что имеет значение в магии чисел, — это их теоретико-числовые свойства; то, что имеет значение в естествознании, — их свойства в качестве величии. С точки зрения величины нет особой разницы, будет ли число жителей города 5040 или 5039; с точки зрения теории чисел между ними расстояние, как от земли до неба <...> Если в идеальном платоновском городе ночью умрет один житель и число жителей уменьшится до 5039, то весь город сразу придет в полный упадок. Пожалуй, одно из наиболее фундаментальных обстоятельств, которому Лейбниц пытался найти выражение в своем принципе непрерывности, состоит в том, что числа входят в объяснение природы благодаря тому, что они имеют характер величин, а не благодаря своим теоретико-числовым свойствам. Современный алгебраист сказал бы, что ситуация определяется не конечными, а бесконечными точками рациональных числовых полей. Было бы, может быть, очень забавно, если бы дела обстояли иначе, но они именно таковы. (С. 67-68)