Teopeма Гёделя - Эрнст Нагель

Констатированные выше ограничения возможностей вычислительных машин не свидетельствуют и о беспочвенности надежд на объяснение явлений жизни и человеческого мышления в физико-химических терминах. Сама по себе теорема Гёделя не отвергает и не подтверждает возможности такого рода объяснений. Единственный непреложный вывод, который мы можем сделать из гёделевской теоремы о неполноте, состоит что природа и возможности человеческого разума неизмеримо тоньше и богаче любой из известных пока машин. И работа самого Гёделя является замечательным примером этой тонкости и богатства, дающим повод отнюдь не для уныния, а, наоборот, для самых смелых надежд на силу творческой мысли.

Послесловие переводчика

Курт Гёдель — крупнейший специалист по математической логике — родился 28 апреля 1906 г. в Брюнне (ныне г. Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где защитил докторскую диссертацию, был доцентом в 1933–1938 гг. После аншлюса эмигрировал в США. С 1940 по 1963 г. Гёдель работает в Принстонском институте высших исследований (с 1953 г. — профессор этого института). Гёдель — почетный доктор Йельского и Гарвардского университетов, член Национальной академии наук США и Американского философского общества.

В 1951 г. К. Гёдель удостоен высшей научной награды США — Эйнштейновской премии. В статье, посвященной этому событию, другой крупнейший математик нашего времени Джон фон Нейман писал[21]: «Вклад Курта Гёделя в современную логику поистине монументален. Это — больше, чем просто монумент, это веха, разделяющая две эпохи… Без всякого преувеличения можно сказать, что работы Гёделя коренным образом изменили сам предмет логики как науки».

Действительно, даже сухой перечень достижений Гёделя в математической логике показывает, что их автор по существу заложил основы целых разделов этой науки: теории моделей (1930 г.; так называемая теорема о полноте узкого исчисления предикатов, показывающая, грубо говоря, достаточность средств «формальной логики» для доказательства всех выражаемых на ее языке истинных предложений), конструктивной логики (1932–1933 гг.; результаты о возможности сведения некоторых классов предложений классической логики к их интуиционистским аналогам, положившие начало систематическому употреблению «погружающих операций», позволяющих осуществлять такое сведение различных логических систем друг к другу), формальной арифметики (1932–1933 гг.; результаты о возможности погружения классической арифметики в интуиционистскую, показывающие в некотором смысле непротиворечивость первой относительно второй), теории алгоритмов и рекурсивных функций (1934 г.; определение понятия общерекурсивной функции, сыгравшего решающую роль в установлении алгоритмической неразрешимости ряда важнейших проблем математики, с одной стороны, и в реализации логико-математических задач на электронно-вычислительных машинах — с другой), аксиоматической теории множеств (1938 г.; доказательство относительной непротиворечивости аксиомы выбора и континуум-гипотезы Кантора от аксиом теории множеств, положившее начало серии важнейших результатов об относительной непротиворечивости и независимости теоретико-множественных принципов).

Но даже если бы на «счету» Гёделя не было ни одного из таких замечательных достижений, достаточно было бы одной его работы, чтобы имя ее автора составило целую эпоху в истории науки. Именно этой двадцатипятистраничной статье двадцатипятилетнего автора и посвящена книжка известного американского логика Э. Нагеля и опытного популяризатора науки Дж. Р. Ньюмена, переведенная на большинство европейских языков.

Среди довольно многочисленной к настоящему времени популярной литературы по математической логике книга Нагеля и Ньюмена выделяется своей «целенаправленностью». Не пытаясь дать общий очерк идей и методов математической логики, авторы строят изложение вокруг центральных, с их точки зрения, проблем этой науки — проблем непротиворечивости и полноты. Доказательство того факта, что для достаточно богатых математических теорий требования эти несовместимы, и есть то поразительное открытие Гёделя, которому посвящена книга. Не требуя от читателя по существу никаких предварительных познаний, авторы с успехом объясняют ему сущность одной из самых замечательных и глубоких теорем математики и логики.

Стремясь к популярности изложения, авторы допускают ряд неточностей технического характера. Немногочисленные их замечания философского характера также представляются несколько поверхностными. Необходимость восполнения таких дефектов наряду с требованием уложиться в жестко ограниченный объем заставила переводчика несколько сократить текст за счет некоторых длиннот, повторений и отступлений. Местами сокращения удалось добиться ценой некоторой перекомпоновки материала. Все эти отступления от оригинала специально нами не оговаривались. Опущены также предметный указатель и библиография: читатель может найти дополнительные ссылки по заинтересовавшим его вопросам по монографии С. К. Клини «Введение в метаматематику» (пер. с английского, М.: Изд-во иностр. лит., 1957; 2-е изд. М.: URSS, 2009).

Ю. А. Гастев

Примечания

1

Из этого определения немедленно вытекает, что аксиомы также причисляются к теоремам (доказательство каждой такой теоремы состоит из единственной формулы — из нее самой). — Прим. перев.

2

Именно обозначает, но не является формулой (является именем формулы); S, не принадлежащая алфавиту описываемого исчисления, относится к его метаязыку. — Прим. перев.

3

В тех случаях, когда нечего опасаться недоразумений, часть скобок в записях формулы опускают.

4

В Principia была еще аксиома «(p ˅ (q ˅ r)) ˅ (q ˅ (p ˅ r))» выводимая, однако, как установил П. Бернайс (1926), из остальных четырех аксиом. — Прим. перев.

5

Начиная отсюда, мы будем, как обычно, опускать кавычки при записях формул, напечатанных в отдельную строку. Нам, ведь, нужны не сами по себе кавычки, а уверенность в том, что не возникнет недоразумений (ср. с названием книги Рассела и Уайтхеда, всюду в настоящей книжке выделяемым не кавычками, а курсивом). — Прим. перев.

6

«Переводы» эти, разумеется, к самому исчислению не относятся. — Прим. перев.

7

Причем сказанное верно безотносительно к тому, входит ли в формулы S1 и S2 хоть одна общая переменная. — Прим. перев.

8

Конечно, еще более простой пример — формула, состоящая из одной-единственной переменной p. — Прим. перев.

9

Такое расширение можно произвести, просто присоединив эти недоказуемые предложения к арифметике в качестве новых аксиом. Поскольку мы считаем их истинными, то отрицания их не должны и не могут быть доказуемы в арифметике; значит, такое расширение непротиворечивой системы не может сделать ее противоречивой. — Прим. перев.

10

Конечно, у авторов речь шла об английском, а у самого Ришара — о французском языке. — Прим. перев.

11

Пропуск между словами можно при этом считать особой «буквой» (например, последней в алфавите) или просто писать слова подряд, без пропусков. — Прим. перев.

12

Можно было бы сказать «перевода», «моделирования», «кодирования», «представления»; в переводе мы далее будем сознательно варьировать употребление этих терминов, чтобы подчеркнуть принципиальное родство понятий, выражаемых этими терминами, между собой и с используемым далее понятием «нумерации». — Прим. перев.

13

Имеется много различных способов приписывания гёделевских номеров, и какой из них выбрать — совершенно несущественно.

14

После чего уже совсем нетрудно проверить, является ли данное выражение формулой или доказательством нашего исчисления (ср. предыдущее примечание). — Прим. перев.

15

От англ. demonstration (доказательство). — Прим. перев.

16

Цифра — это числовой знак, или имя числа (ср. выше примечание авторов на с. 35–36). — Прим. перев.