Пятьсот двадцать головоломок - Генри Дьюдени

285. Три изгороди. Однажды за чашкой чая полковник Крэкхэм сказал:

— У одного человека было круглое поле, и он захотел разделить его на 4 равные части тремя изгородями равной длины. Как это можно сделать?

— А для чего ему нужны были заборы одинаковой длины? — спросила Дора.

— Сведений об этом не сохранилось, — ответил полковник. — Нам не известно также ни того, зачем он делил поле на 4 части, ни того, деревянными или железными были изгороди, ни того, пастбище или пашню представляло собой поле. Я не могу даже назвать имя этого человека, не то что сказать, каков цвет его волос. Можно показать, что для решения головоломки все эти сведения не существенны.

286. Квадратура круга. Задача о квадратуре круга сводится к отысканию отношения диаметра к длине окружности. Его нельзя найти с абсолютной, но можно определить с достаточной точностью, чтобы использовать для практических целей.

Точно так же в евклидовой геометрии нельзя построить отрезок прямой, равный длине заданной окружности. Конечно, можно получить достаточно точный результат, поставив на ребро монету и аккуратно прокатив ее по прямой на листе бумаги, но прокатить подобным образом сад круглой формы не так-то просто.

На рисунке изображена ломаная линия, длина которой очень близка к длине изображенной окружности. Горизонтальное звено этой ломаной равно половине длины окружности. Не могли бы вы найти ее с помощью простого метода, в котором использовались бы только карандаш, циркуль и линейка?

287. Автомобиль и круг. Автомобиль едет по кругу. Его колеса, расположенные с внешней стороны круга, движутся вдвое быстрее колес, расположенных с внутренней стороны.

Чему равна длина окружности, которую проходят внешние колеса, если расстояние между колесами на обеих осях 1,5 м?

288. Точильный круг. Три человека купили точильный круг диаметром 20 см. Сколько должен сточить каждый из компаньонов, чтобы круг был разделен поровну, если исключить 4 см диаметра, которые пошли на отверстие? Практическая ценность каждой доли не учитывается, речь идет лишь о равном дележе общей массы круга.

289. Автомобильные колеса. «Видите ли, сэр, — сказал продавец автомобилей, — переднее колесо автомобиля, который вы покупаете, каждые 360 футов делает на 4 оборота больше заднего; но если бы вы уменьшили длину окружности каждого колеса на 3 фута, то переднее колесо на таком же расстоянии делало бы на целых 6 оборотов больше заднего».

Почему покупателю не захотелось, чтобы разность числа оборотов возрастала, нас не касается. Головоломка состоит в том, чтобы найти длину окружности каждого колеса. Это очень легко сделать.

290. Недоразумение с колесом. Вот одно любопытное недоразумение, которое многих крайне озадачивает. Колесо делает полный оборот, пройдя расстояние от А до В. Очевидно, что отрезок АВ равен именно длине окружности колеса. Хотя для произвольного диаметра мы не сможем точно определить эту длину[16], тем не менее мы сумеем найти для нее приближенное значение с достаточной степенью точности. Так, если у нас колесо диаметром 28 см, мы можем умножить диаметр на 22, разделить на 7 и получим искомую длину — 88 см. Это, конечно, слишком грубое приближение, но если мы умножим его на 355 и разделим на 113, то получим 87,9646, что уже лучше, а умножив на 3,1416, мы получим 87,9648 — еще лучшее приближение. Но это между прочим.

Теперь заметим, что внутренний круг (ступица) тоже делает полный оборот вдоль воображаемой пунктирной линии CD, а так как CD равно АВ, длины меньшей и большей окружностей равны! Разумеется, даже младенцу с первого взгляда ясно, что это не верно. И все же, где именно допущена ошибка?

Попытайтесь ее найти. Не может быть и тени сомнения в том, что ступица за один полный оборот проходит расстояние от С до D. Тогда почему же CD не равно длине ее окружности?

291. Знаменитый парадокс. Есть такой вопрос, который задают постоянно, но на который я никогда не слышал удовлетворительного или достаточно убедительного для неискушенного человека ответа. Он состоит в следующем: «Движется ли на ходу верхняя часть велосипедного колеса быстрее нижней?»

Люди, не привыкшие к точному мышлению, неизменно встречают такой вопрос смехом и отвечают: «Разумеется, нет!» Они считают подобный вопрос совершенно нелепым и не достойным даже того, чтобы всерьез над ним призадуматься. «Колесо, —говорят они, — это твердое тело, вращающееся вокруг центральной оси, и если одна из его частей стала бы двигаться быстрее другой, то оно разлетелось бы вдребезги».

Тогда вы обращаете внимание .вашего скептика на проезжающий мимо экипаж и просите его заметить, что спицы в нижней части колеса ясно видны, их даже можно пересчитать; а вот в верхней части они движутся так быстро, что становятся неразличимыми. Движущееся колесо выглядит примерно так, как оно изображено на рисунке. Наш друг вынужден признать очевидное, но поскольку он не может дать объяснение тому, что видит, и не хочет отказываться от своей прежней точки зрения, то, вероятно, ответит: «Ну, возможно, это обман зрения».

Итак, повторяем вопрос: «Движется ли верхняя часть колеса быстрее нижней?»

292. Еще один парадокс с колесом. Два велосипедиста остановились на железнодорожном мосту где-то в Сассексе, когда мимо них проходил поезд.

— Этот поезд идет из Лондона в Брайтон, — сказал Хендерсон.

— Большая его часть, — заметил Бэнкс, — а остальная — движется по направлению к Лондону.

— О чем это, скажи на милость, ты говоришь?

— Я говорю, что если поезд идет из Лондона в Брайтон, то часть этого поезда все время движется в противоположном направлении — из Брайтона в Лондон.

— И ты всерьез утверждаешь, что, когда я еду из Кройдона в Истбурн, то часть моего велосипеда несется назад в Кройдон?

— Не горячись, старина, — сказал спокойно Бэнкс. — Я ничего не говорил о велосипедах. Мое утверждение касалось только железнодорожных поездов.

Хендерсон решил, что это просто шутка и речь идет о дыме или паре, но его приятель заметил, что сильный ветер может быть и в направлении движения поезда. Тогда он высказал предположение, что имелись в виду мысли пассажиров, но проверить этого не удалось и, кроме того, вряд ли их можно было назвать частью поезда! Наконец Хендерсон сдался.

Не смог бы читатель объяснить этот любопытный парадокс?

293. Механический парадокс. Знаменитый механический парадокс, придуманный Джеймсом Фергюсоном[17] где-то около 1751 г., следовало бы знать каждому. Он предложил его скептику-часовщику в момент спора.

— Предположим, — сказал Фергюсон, — что я сделаю одно колесо толщиной в три других и на всех их нарежу зубцы. Затем я свободно надену три колеса на одну ось и помещу толстое колесо так, чтобы оно приводило их в движение и его зубцы входили в зубцы трех тонких колес. Если я поверну толстое колесо, то как повернутся тонкие колеса?

Часовщик ответил, что, очевидно, три колеса повернутся в противоположном направлении. Тогда Фергюсон смастерил простой механизм, который под силу сделать каждому, и показал, что при вращении толстого колеса в любом направлении одно из тонких колес вращается в том же самом направлении, другое — в противоположном, а третье остается неподвижным. Хотя часовщик и взял механизм домой, он так и не смог найти объяснение этому странному парадоксу.

294. Четыре домовладельца. Вы видите на рисунке квадратный участок земли с четырьмя домами, четырьмя деревьями, колодцем (W ) в центре, а также изгородями с четырьмя калитками (G).

Можете ли вы разделить этот участок так, чтобы каждому домовладельцу досталось поровну земли, по одному дереву, по одной калитке, по куску изгороди равной длины и по свободному проходу к колодцу, который не пересекал бы участок соседа?

295. Пять заборов. У одного человека было большое квадратное огороженное поле, на котором росло 16 дубов (см. рисунок). Владелец из каких-то эксцентричных соображений пожелал поставить на нем 5 прямых заборов таким образом, чтобы каждое дерево оказалось на отдельном участке.

Как он сможет это сделать? Возьмите карандаш и перечеркните поле пятью прямыми так, чтобы каждое дерево было отделено от всех остальных.

296. Сыновья фермера. У одного фермера был квадратный участок земли, на котором росли 24 дерева. В своем завещании он пожелал, чтобы каждый из его восьми сыновей получил одинаковое количество земли и равное число деревьев.

Как наипростейшим образом разделить землю?

297. Минуя мины. Перед нами небольшой заминированный участок моря. Крейсер, благополучно минуя мины, прошел его с юга на север двумя прямыми курсами.