Большая Советская энциклопедия (АН) - БСЭ

  Моногенность функции f эквивалентна её дифференцируемости в смысле комплексного анализа. При этом под дифференцируемостыо f в точке zÎD понимается возможность представления её приращения в виде Df(z) =ADz + a(Dz)Dz, где a(Dz) ® 0 при Dz ® 0; дифференциал df(z) функции f в точке z, равный главной части ADz её приращения Df(z), в этом случае пропорционален dz = Dz и имеет вид f’(z) dz. Полезно сравнить понятия дифференцируемости функции f — в смысле действительного анализа и в смысле комплексного анализа. В первом случае дифференциал df имеет вид (¶f/¶x) dx + (¶f/¶y) dy. Удобно переписать это выражение в комплексной форме. Для этого переходят от независимых переменных x, у к переменным z, , которые формально можно считать новыми независимыми переменными, связанными со старыми соотношениями: z = х + iy,  = x - iy (становясь на эту точку зрения, функцию f иногда записывают в виде f(z, ). Выражая dx и dy через dz и d  по обычным правилам вычисления дифференциалов, получают df = (¶f/¶z)dz + (¶f/¶)d , где ¶f/¶z = (1/2) (¶f/¶x - i¶f/¶y) и ¶f/¶ = (1/2) (¶f/¶x + i¶f/¶y) (формальные) производные функции f по z и  соответственно.

Отсюда уже нетрудно заключить, что дифференцируемость функции f в смысле комплексного анализа имеет место в том и только том случае, когда она дифференцируема в смысле действительного анализа и справедливо равенство ¶f/¶ = 0, являющееся краткой формой записи уравнений Коши — Римана; при этом

  ¶f/¶z = f’ = df/dz.

Равенство ¶f/¶ = 0 показывает, что дифференцируемыми в смысле комплексного анализа являются те и только те функции f, которые, рассматриваемые формально как функции независимых переменных z и  «зависят только от z», являются «функциями комплексного переменного z».

  Интеграл от функции f = j + iy вдоль (ориентированной спрямляемой) кривой Г можно определить с помощью понятия криволинейного интеграла:

Центральное место в теории моногенных функций (теории Коши) занимает следующая итегральная теорема Коши: если функция моногенна в односвязной области D, то SГ f(z)dz = 0 для любой замкнутой кривой Г, лежащей в этой области. В произвольной области D то же утверждение справедливо для замкнутых кривых Г, которые непрерывной деформацией могут быть стянуты в точку (оставаясь в пределах области D). Опираясь на интегральную теорему Коши, нетрудно доказать интегральную формулу Коши: если функция f моногенна в области D и Г — простая замкнутая кривая, принадлежащая области D вместе со своей внутренностью DГ то для любой точки zÎDГ

(ориентация кривой Г предполагается положительной относительно области D Г)

  Пусть функция f моногенна в области D. Фиксируем произвольную точку z0 области D и обозначим через g окружность с центром в точке z0 и радиусом r > 0, принадлежащую, вместе со всем кругом: К: Iz - z0I < r, области D. Тогда

  Представим ядро Коши 1/(t—z) для tÎg и zÎK в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии:

  поэтому ряд сходится равномерно относительно tÎg при любом фиксированном zÎK, интегрируя этот ряд — после умножения на

  — почленно, получают разложение функции f в степенной ряд

  сходящийся в круге K: I z - z0 I < r.

Уточним теперь понятие аналитичности. Пусть f — функция, определённая в области D; она называется аналитической (или голоморфной) в точке z0 области , если существует окрестность этой точки (круг с центром в z0), в которой функция f представляется степенным рядом:

f (z) = a0 + a1(z - z0) + a2(z - z0)2 +. . . . + an(z - z0)n+ . . .

  Если это свойство имеет место в каждой точке z0 области D, то функция f называется аналитической (голоморфной) в области D.

Выше было показано, что функция f, моногенная в области D, аналитична в этой области. В отдельной точке это утверждение неверно; например, функция f(z) = êzê2 = z моногенна в точке z0 = 0, но нигде не аналитична. С другой стороны, функция f , аналитическая в точке z0 области D, моногенна в этой точке. Более того, сумма сходящегося степенного ряда имеет производные всех порядков (бесконечно дифференцируема) по комплексному переменному z; коэффициенты ряда могут быть выражены через производные функции f в точке z0 по формулам: an=f(n)(z0)/n!. Степенной ряд, записанный в форме

  называется рядом Тейлора функции f в точке z0. Тем самым, аналитичность функции f в области D означает, что в каждой точке области D функция f бесконечно дифференцируема и её ряд Тейлора сходится к ней в некоторой окрестности этой точки.

  Следовательно, понятия моногенности и аналитичности функции в области тождественны и каждое из следующих свойств функции f в области D — моногенность, дифференцируемость в смысле комплексного анализа, дифференцируемость в смысле действительного анализа вместе с выполнением уравнений Коши — Римана — может служить определением аналитичности f в этой области.

  Важнейшее свойство А. ф. выражается следующей теоремой единственности: две функции, аналитические в области D и совпадающие на каком-либо множестве, имеющем предельную точку в D, совпадают и во всей области D (тождественны). В частности, аналитическая в области функция, отличная от тождественного нуля, может иметь в области лишь изолированные нули.

  Если Е — произвольное множество (в комплексной плоскости и, в частности, на действительной прямой), то функция f (z), zÎE, называется аналитической на множестве E, если каждая точка этого множества имеет окрестность, на пересечении которой с множеством Е функция f представляется сходящимся степенным рядом; это означает в действительности, что f аналитична на некотором открытом множестве, содержащем Е (точнее, существует открытое множество, содержащее Е, и аналитическая на нём функция, f совпадающая с f на множестве E). Для открытых множеств понятие аналитичности совпадает с понятием дифференцируемости по множеству (моногенности). Однако в общем случае это не так; в частности, на действительной прямой существуют функции, не только имеющие производную, но и бесконечно дифференцируемые в каждой точке, которые не являются аналитическими ни в одной точке этой прямой. Например,

  С другой стороны, для справедливости теоремы единственности А. ф. существенно свойство связности множества E. Поэтому А. ф. рассматриваются обычно в областях, т.е. на открытых и связных множествах.

  Важную роль в изучении А. ф. играют точки, в которых нарушается свойство аналитичности — т. н. особые точки А. ф. Рассмотрим здесь изолированные особые точки (однозначных) А. ф. Пусть f — А. ф. в области вида 0 < |z - z0| < r; в этой области f разлагается в ряд Лорана: