Учитель - Борис Кушнер

28

Марков, цит. соч. 2002, стр. XII. Воспоминания А.А., написанные им в поздние годы, не окончены и были мне недоступны при написании настоящего очерка. «Воспоминания» упоминаются и цитируются в статье Н.М. Нагорного «От составителя» в упомянутом выше томе трудов Маркова, и в книге Гродзенского, 1987. Не знаю, имеется ли в виду одна и та же рукопись.

29

Там же, стр. XIII.

30

Там же, стр. XIII.

31

Guiseppe Peano (1858–1932), выдающийся итальянский математик. Среди его основных достижений — разработка аксиоматики арифметики.

32

Я где-то читал похожее высказывание Пабло Сарасате. Получив партитуру скрипичного Концерта Брамса (а концерт, как и Бетховенский, начинается развёрнутым оркестровым вступлением), испанский виртуоз сказал, что музыка-то хорошая, но «неужели этот человек воображает, что я буду стоять десять минут на эстраде и ничего не делать?»

33

В первом томе двухтомника Маркова (цит. выше) имеется наиболее полный на сегодняшний день список его трудов (120 названий). Нельзя снова не отметить выдающуюся роль составителя двухтомника Н.М. Нагорного в сохранении, описании и осмыслении марковского научного наследия.

34

Здесь, например, можно упомянуть недавно обнаруженное авторское свидетельство 1941 г. «О движении авиаторпеды по почти вертикальной части траектории». Работа, результаты которой были переданы Главному Артиллерийскому Управлению, была выполнена совместно с погибшим позже на войне М.Я. Перельманом, сыном знаменитого автора популярных книг по различным наукам.

35

Марков 2002, стр. VI.

36

Georg Cantor (1845–1918). Вслед за Кантором следует упомянуть другого великого немецкого математика Рихарда Дедекинда (Richard Dedekind (1831–1916)).

37

Георг Кантор, "Труды по теории множеств", под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича, «Наука», Москва 1985. Замечательный очерк Теории Множеств, включающий философские и исторические вопросы, можно найти в монографии Френкеля и Бар-Хиллела «Основания Теории Множеств», Мир, Москва 1966, пер. с англ. Англ. оригинал: Foundations of Set Theory, North-Holland Publ. Co, Amsterdam, 1958.

38

Огромный интерес представляет переписка Кантора с Дедекиндом.

39

Самая первая фраза, открывающая Библию, «В начале сотворил Б-г небо и землю», прочитанная в оригинале, содержит загадку, переводом не переданную (невероятно трудно переводить Танах!) Стоящее в оригинале слово «Элохим», переведённое, как Б-г, грамматически является множественным числом от «Эл» («бог», скорее в языческом смысле слова), однако, управляет глаголами в единственном числе. И эта грамматическая странность настойчиво проводится в Танахе. Одно из объяснений состоит в том, что здесь необычная грамматика выражает идею постижения нашим Духом Единого Б-га, вобравшего в себя и преодолевшего все прежние языческие божества. Основная интеллектуальная операция теории множеств, при которой из предстоящих нашему воображению или взгляду объектов создаётся новая сущность, новый объект — множество данных предметов, сродни этой фундаментальной теологической конструкции.

40

Случилось так, что буквально в те же дни меня попросили сделать доклад на ту же тему для аспирантов-математиков мех-мата МГУ. Переключаться с одной аудитории на совершенно другую было тоже крайне интересно.

41

Многие источники относят это фундаментальное открытие (первый пример бесконечности, «большей», чем бесконечность ряда положительных целых чисел) к более поздней дате, но оно обсуждается и формулируется уже в письмах Кантора Дедекинду декабря 1873 г. (См., Кантор, цит. соч. стр. 329–330).

42

«Я это вижу, но я в это не верю» — писал Кантор Дедекинду (письмо от 29 июня 1877 г., Кантор цит. соч. стр. 344; интересно, что цитированные слова написаны Кантором по-французски, чем, вероятно, подчёркивается его эмоциональное состояние). Позже Брауэр (об этом выдающемся математике мы ещё поговорим ниже) показал, что наша интуиция восстанавливается, если рассматривать непрерывные (топологические) соответствия между прямой и пространством…

43

Кантор, цит. соч., стр. 173.

44

Кстати, в теории множеств вводится понятие так называемого пустого множества, в котором вообще нет элементов. Что-то вроде числа ноль в арифметике. В этих терминах можно сказать, что никто не знает сегодня, пусто или нет множество всех нечётных совершенных чисел.

45

По имени античного философа Платона (428 или 427–348 или 347 до н. э.), с идеями которого действительно перекликается мировоззрение Кантора.

46

Если не ошибаюсь, эту мысль высказывал выдающийся немецкий логик, математик и философ Фреге (Gottlog Frege (1848–1925)).

47

Этим свойством обладает множество всех подмножеств любого множества.

48

Речь идёт о парадоксах, связанных с автореферентностью, когда некоторое понятие определяется в терминах, включающих его самого, или когда некоторое понятие применяется к самому себе. Здесь можно упомянуть парадоксы «лжеца», известные с глубокой древности. Допустим, я произношу фразу: «То, что я сейчас сказал — ложь». Невозможно оценить это высказывание, ни как истинное, ни как ложное. К этому же типу относится известный в античности парадокс «все критяне лжецы» (представим себе, что это говорит критянин). Построение Рассела близко к известному парадоксу брадобрея: «В Севилье живёт цирюльник, который бреет всех тех севильцев, кто сам себя не бреет (и только их); как быть, если ему надо побриться?». Очевидно, такого рода цирюльник не может жить в Севилье, и эта идея лежит в основе так называемого диагонального метода Кантора и многих конструкций в теории алгорифмов. Однако, в случае теории множеств «Севильей» оказывается вся математическая Вселенная, и мы оказываемся перед лицом драматического противоречия. Ср., например, Френкель, Бар-Хиллел, цит. соч., Стефен К. Клини, Введение в метаматематику, иностранная литература, Москва 1957, пер. с англ., стр. 39–42.

49