Учитель - Борис Кушнер

[29]

Марков, цит. соч. 2002, стр. XII. Воспоминания А.А., написанные им в поздние годы, не окончены и были мне недоступны при написании настоящего очерка. «Воспоминания» упоминаются и цитируются в статье Н.М. Нагорного «От составителя» в упомянутом выше томе трудов Маркова, и в книге Гродзенского, 1987. Не знаю, имеется ли в виду одна и та же рукопись.

[30]

Там же, стр. XIII.

[31]

Там же, стр. XIII.

[32]

Guiseppe Peano (1858–1932), выдающийся итальянский математик. Среди его основных достижений — разработка аксиоматики арифметики.

[33]

Я где-то читал похожее высказывание Пабло Сарасате. Получив партитуру скрипичного Концерта Брамса (а концерт, как и Бетховенский, начинается развёрнутым оркестровым вступлением), испанский виртуоз сказал, что музыка-то хорошая, но «неужели этот человек воображает, что я буду стоять десять минут на эстраде и ничего не делать?»

[34]

В первом томе двухтомника Маркова (цит. выше) имеется наиболее полный на сегодняшний день список его трудов (120 названий). Нельзя снова не отметить выдающуюся роль составителя двухтомника Н.М. Нагорного в сохранении, описании и осмыслении марковского научного наследия.

[35]

Здесь, например, можно упомянуть недавно обнаруженное авторское свидетельство 1941 г. «О движении авиаторпеды по почти вертикальной части траектории». Работа, результаты которой были переданы Главному Артиллерийскому Управлению, была выполнена совместно с погибшим позже на войне М.Я. Перельманом, сыном знаменитого автора популярных книг по различным наукам.

[36]

Марков 2002, стр. VI.

[37]

Georg Cantor (1845–1918). Вслед за Кантором следует упомянуть другого великого немецкого математика Рихарда Дедекинда (Richard Dedekind (1831–1916)).

[38]

Георг Кантор, "Труды по теории множеств", под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича, «Наука», Москва 1985. Замечательный очерк Теории Множеств, включающий философские и исторические вопросы, можно найти в монографии Френкеля и Бар-Хиллела «Основания Теории Множеств», Мир, Москва 1966, пер. с англ. Англ. оригинал: Foundations of Set Theory, North-Holland Publ. Co, Amsterdam, 1958.

[39]

Огромный интерес представляет переписка Кантора с Дедекиндом.

[40]

Самая первая фраза, открывающая Библию, «В начале сотворил Б-г небо и землю», прочитанная в оригинале, содержит загадку, переводом не переданную (невероятно трудно переводить Танах!) Стоящее в оригинале слово «Элохим», переведённое, как Б-г, грамматически является множественным числом от «Эл» («бог», скорее в языческом смысле слова), однако, управляет глаголами в единственном числе. И эта грамматическая странность настойчиво проводится в Танахе. Одно из объяснений состоит в том, что здесь необычная грамматика выражает идею постижения нашим Духом Единого Б-га, вобравшего в себя и преодолевшего все прежние языческие божества. Основная интеллектуальная операция теории множеств, при которой из предстоящих нашему воображению или взгляду объектов создаётся новая сущность, новый объект — множество данных предметов, сродни этой фундаментальной теологической конструкции.

[41]

Случилось так, что буквально в те же дни меня попросили сделать доклад на ту же тему для аспирантов-математиков мех-мата МГУ. Переключаться с одной аудитории на совершенно другую было тоже крайне интересно.

[42]

Многие источники относят это фундаментальное открытие (первый пример бесконечности, «большей», чем бесконечность ряда положительных целых чисел) к более поздней дате, но оно обсуждается и формулируется уже в письмах Кантора Дедекинду декабря 1873 г. (См., Кантор, цит. соч. стр. 329–330).

[43]

«Я это вижу, но я в это не верю» — писал Кантор Дедекинду (письмо от 29 июня 1877 г., Кантор цит. соч. стр. 344; интересно, что цитированные слова написаны Кантором по-французски, чем, вероятно, подчёркивается его эмоциональное состояние). Позже Брауэр (об этом выдающемся математике мы ещё поговорим ниже) показал, что наша интуиция восстанавливается, если рассматривать непрерывные (топологические) соответствия между прямой и пространством…

[44]

Кантор, цит. соч., стр. 173.

[45]

Кстати, в теории множеств вводится понятие так называемого пустого множества, в котором вообще нет элементов. Что-то вроде числа ноль в арифметике. В этих терминах можно сказать, что никто не знает сегодня, пусто или нет множество всех нечётных совершенных чисел.

[46]

По имени античного философа Платона (428 или 427–348 или 347 до н. э.), с идеями которого действительно перекликается мировоззрение Кантора.

[47]

Если не ошибаюсь, эту мысль высказывал выдающийся немецкий логик, математик и философ Фреге (Gottlog Frege (1848–1925)).

[48]

Этим свойством обладает множество всех подмножеств любого множества.

[49]

Речь идёт о парадоксах, связанных с автореферентностью, когда некоторое понятие определяется в терминах, включающих его самого, или когда некоторое понятие применяется к самому себе. Здесь можно упомянуть парадоксы «лжеца», известные с глубокой древности. Допустим, я произношу фразу: «То, что я сейчас сказал — ложь». Невозможно оценить это высказывание, ни как истинное, ни как ложное. К этому же типу относится известный в античности парадокс «все критяне лжецы» (представим себе, что это говорит критянин). Построение Рассела близко к известному парадоксу брадобрея: «В Севилье живёт цирюльник, который бреет всех тех севильцев, кто сам себя не бреет (и только их); как быть, если ему надо побриться?». Очевидно, такого рода цирюльник не может жить в Севилье, и эта идея лежит в основе так называемого диагонального метода Кантора и многих конструкций в теории алгорифмов. Однако, в случае теории множеств «Севильей» оказывается вся математическая Вселенная, и мы оказываемся перед лицом драматического противоречия. Ср., например, Френкель, Бар-Хиллел, цит. соч., Стефен К. Клини, Введение в метаматематику, иностранная литература, Москва 1957, пер. с англ., стр. 39–42.