Эврика! Радость открытия. Архимед - Эугенио Агиляр

«Утверждение 33. Поверхность любого шара в четыре раза больше площади его большого круга» (рисунок 4).

Большой круг — это круг, который делит шар на две равные половины. Данное утверждение (рисунок 4) можно пояснить следующим умозрительным образом. Если мы сложим четыре раза площадь SCM большого круга (SCM= πr²), то сумма будет равна площади поверхности всего шара SE (SE = 4πr²). Это означает, что потребовалось бы равное количество краски, чтобы покрасить поверхность шара и четыре больших круга.

«Утверждение 34. Любой шар [по объему] в четыре раза больше конуса, база которого равна большому кругу, а высота — радиусу шара».

В алгебраической записи показать данное соотношение объемов можно так (рисунок 5). Объем Vc конуса с радиусом r и высотой r равен

Vc = 1/3πr³

а объем шара VE с радиусом r равен

VE=4/3πr³.

Таким образом: VE = 4 Vc. То есть объем шара с радиусом r равен объему четырех конусов с радиусом основания r и высотой r. Другими словами, чтобы наполнить весь шар с радиусом r 4 л воды, потребуются 4 конуса с радиусом r и высотой r, вмещающие по 1 л каждый.

РИС. 5

РИС. 6

В качестве следствия из утверждения 34 Архимед выводит заключение, упомянутое в начале главы и действительное для объемов и площадей:

«Поверхность шара составляет 3/2 поверхности цилиндра с основанием, равным большому кругу шара, и высотой, равной его диаметру» (рисунок 6).

Чтобы вычислить площадь поверхности цилиндра, надо сложить площади его боковой поверхности и двух оснований. Боковая поверхность равна по площади прямоугольнику с основанием 2кг и высотой 2r. Следовательно, ее площадь будет составлять 4πr².

С другой стороны, два основания представляют собой круги с радиусом г, так что площадь каждого равна πr². Сложив площади боковой поверхности и удвоенную площадь основания, получаем площадь поверхности цилиндра: Sc = 6πr².

Итак, из расчетов следует, что площадь цилиндра равна шести площадям круга с таким же радиусом. И значит, один шар равен четырем кругам, а шесть кругов — полутора шарам. Нам понадобится одинаковое количество краски, чтобы покрасить шесть кругов радиусом r, полтора шара радиусом r или один цилиндр с радиусом основания r и высотой 2r. Надо прибавить, что полученные отношения действительны также и для объемов, то есть объем цилиндра составляет 3/2 объема вписанного в него шара (рисунок 7).

Легче и нагляднее представить себе это соотношение следующим образом: если один шар вмещает 2 л воды, то в описанный вокруг него цилиндр войдет 3 л.

Вот почему часто говорят, что отношение цилиндра к шару — три к двум.

РИС. 7

В V веке до н. э. Афины опустошила эпидемия чумы, одной из жертв которой стал знаменитый Перикл (495-429 гг. до н. э.), афинский политический деятель, которому удалось собрать в Афинах множество талантливых людей со всех концов греческого мира. Тогда группа афинян решила идти к оракулу Аполлона в Дельфах, чтобы узнать, как можно остановить чуму. По преданию, полученный ответ был таков: надо сделать новый кубический алтарь взамен старого так, чтобы по объему он был ровно в два раза больше. В этой легенде — в одном из двух ее вариантов — ставится знаменитая задача удвоения куба, известная как «делосская задача»: как построить куб объемом в два раза больше заданного, используя только линейку и циркуль. Из книги Архимеда «О шаре и цилиндре» понятно: он вполне осознавал, что для удвоения куба невозможно идти по интуитивно напрашивающемуся пути — просто удвоить его ребро. Ведь если ребро куба I1 = а, его объем будет составлять V1 = а³; удвоив же ребро I2 =2а, мы получим объем нового куба V2 = (2а)³ = 8а³, а это значит, что V2 = 8V1. Объем куба не удвоился, а «увосьмерился», как показано на рисунке.

Сегодня мы знаем, что решить «делосскую задачу» с помощью исключительно линейки и циркуля невозможно, потому что ее решение представляет собой иррациональное число. Так, чтобы удвоить куб с ребром а, ребро нового куба должно равняться

Спираль Архимеда

Спираль — это кривая, образованная точкой, которая удаляется от центра и одновременно вращается вокруг него. Архимед изучал особенный тип спирали, которая теперь известна именно как спираль Архимеда (см. рисунок), характеризующаяся способом своего построения:

Спираль Архимеда представляет собой кривую, образованную точкой, которая с постоянной скоростью удаляется от вершины луча, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг своей вершины.

Луч а вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ω, в то же время точка Р движется с постоянной скоростью V вдоль луча а. Простой способ нарисовать такую спираль — это разбить плоскость двумя перпендикулярными прямыми и провести биссектрисы получившихся прямых углов, а затем начертить концентрические окружности с центром на пересечении прямых и на равном расстоянии друг от друга. При вращении прямая проходит последовательно через пересечения прямых с окружностями.

В трактате «О спиралях» Архимед изучает спираль, впоследствии получившую его имя, и некоторые из ее свойств. Данный текст считается одним из самых сложных трудов древнегреческих мыслителей. Недаром в античности он оставался в забвении, а некоторые математики XVII — XVIII веков считали его ошибочным, поскольку оказались не в состоянии его понять. Его значимость заключается не только в его математических достоинствах, но и в философских аспектах. Речь идет в первую очередь о первом из известных документов, где рассматривается касательная к кривой, отличной от окружности. С математической точки зрения это очень важно, ведь поднятая Архимедом тема могла бы стать введением в курс дифференциального исчисления. Такое предположение становится очевидным, если учесть, что в своих доказательствах Архимед подошел почти вплотную к интегральному исчислению.

Трактат «О спиралях» состоит из 28 утверждений и посвящен Досифею Пелузийскому, которому адресовано и предваряющее основной текст письмо. Первые 11 утверждений — вспомогательные, Архимед использует их для доказательства других, более ему интересных. Такой метод работы характерен в целом для Архимеда — использовать предварительные утверждения как ступеньку для выхода на более высокий уровень. Он и сам в предисловии выделяет четыре наиболее важных результата и характеризует остальные как вспомогательные. После первых 11 утверждений Архимед приводит список из шести определений, и первое из них является собственно определением спирали Архимеда, которое мы излагали выше. Утверждения с 12-го по 20-е касаются свойств касательных к спирали, а также соотнесенности длины ее витков с оборотами, совершаемыми ею. В этой части работы Архимед показывает, как выстроить касательную к спирали в заданной точке. Наконец, в утверждениях с 21-го по 28-е Архимед рассматривает площади фигур, образованных кривой при последовательных оборотах, — данные утверждения представляют собой наиболее интересные результаты для исследователей. Учитывая сложность трактата, мы остановимся лишь на одном из них, под номером 24:

«Поверхность, ограниченная описанной спиралью при первом обороте, составляет третью часть круга, которого она касается».

Вышесказанное Архимед доказывает методом исчерпывания (см. рисунок), а также он использует доказательство от противного, заключив, что площадь образованной фигуры не может быть ни больше, ни меньше трети круга.

После первого оборота спираль ограничивает площадь, равную 1/3 площади окружности, в которую спираль вписана.

Спирали — это кривые, образуемые точкой, совершающей вращение вокруг некоего центра, одновременно удаляясь от него с каждым оборотом. Разнообразные спирали можно наблюдать в природе: у растений, в раковинах моллюсков и так далее — неудивительно, что математики давно заинтересовались ими. Среди творений рук человеческих тоже часто встречаются спирали — например, на виниловых дисках или в виде пружин. Вот некоторые типы спиралей:

РИС. 1

РИС. 2

РИС.З

РИС. 4

— архимедова, или арифметическая спираль (рисунок 1). Она описывается уравнением r=а + bθ;

— спираль Ферма, или параболическая спираль (рисунок 2): r=θ½;