История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - Ричард Манкевич

В шестнадцатом веке о Пьеро помнили уже скорее как о математике, чем как о художнике. В эпоху Ренессанса его трактат не издавался, но циркулировал в форме рукописи, а содержание работы часто цитировалось в публикациях других авторов. Однако многие его построения самых сложных фигур было трудно повторить, и содержащие их разделы — наиболее трудные для понимания — часто опускались. Однако возрастал интерес к измерительным инструментам, подобным тем, которыми пользуются землемеры, — они помогали художникам изображать предметы в перспективе. В трактате Альбрехта Дюрера «Руководство к измерению циркулем и линейкой» изображено множество таких инструментов. В большинстве из них натянутая веревка представляла собой линию взгляда, упирающуюся в рамку с подвижным перекрестьем нитей; изображение при этом наращивалось точка за точкой. Художник мог также рассматривать сцену через квадратную сетку, которая действовала наподобие системы координат. Такое устройство уже использовалось и ранее — как способ привести рисунок к определенному масштабу, перед тем как наносить краски.

Альбрехт Дюрер (1471–1528) был одним из восьми детей, рожденных в Нюрнберге в венгерской семье. По всей видимости, он должен был, как и его отец, заниматься торговлей украшениями. Однако к тринадцати Альбрехт проявил себя как очень хороший художник. Позднее он был направлен на учебу к нюрнберскому живописцу и граверу Михаэлю Вольгемуту (1434–1519), и Альбрехт освоил не только живопись, но и гравирование по дереву и меди. В начале 1490-х годов Дюрер предпринял путешествие по Германии, Швейцарии и Нидерландам и начал разрабатывать планы создания нового искусства, основанного на математике. После возвращения в Нюрнберг он принялся изучать работы Евклида, Витрувия, Пачоли и Альберти. Позднее Дюрер даже посетил Пачоли в Болонье и планировал сам написать крупный труд по вопросам математики и искусства. Ко времени создания его известной гравюры «Меланхолия» (1514) он был уже известным мастером. Дюрер получал очень хорошие заказы от курфюрста Саксонии Фридриха Мудрого и от императора Священной Римской империи Максимилиана I, владел процветающей печатной компанией. В 1523 году он уже закончил свой трактат «Четыре книги о пропорциях» (издан в 1528 году), но посчитал его математическую составляющую слишком сложной для читателей и потому приступил к редактированию и сокращению своего труда. В результате получилось более легко читаемое «Руководство к измерению циркулем и линейкой», которое Дюрер издал в 1525 году. Если не считать книг о применении арифметики в торговле, которые уже выходили к тому времени, это была первая книга по математике, напечатанная на немецком языке, что сделало Дюрера одним из крупнейших математиков эпохи Возрождения. Работа по большей части охватывала проблемы планиметрии и стереометрии, включая методы построения фигур. Один из ее разделов был посвящен перспективе. Значительная часть работы отдана изображению пространственных фигур в плане и в проекциях — это та ветвь математики, которая ныне носит название начертательной геометрии, — а также решению практических задач, стоявших перед архитекторами и инженерами.

Брак начертательной геометрии с коническими сечениями — рассечениями конуса, которые создают фигуры вроде круга, эллипса и параболы, — привел к рождению другой новой ветви математики — проективной геометрии. Математик и военный инженер Жерар Дезарг (1591–1661) из Лиона за свою жизнь опубликовал немного работ, однако он был в курсе математических событий, узнавая о них от физика и философа Марена Мерсенна, который вел обширную переписку с выдающимися учеными того времени — Галилеем, Декартом, Паскалем, Ферма и многими другими. В 1639 году Дезарг издал брошюру с забавным названием «Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью». Читать этот текст было очень тяжело, поэтому было напечатано только пятьдесят экземпляров, которые Дезарг раздал знакомым.

Основой начертательной геометрии был тот факт, что с точки зрения зрителя «идеальные» и «ухудшенные» фигуры кажутся одинаковыми. Распространение этого результата за пределы плоскости живописи означает, что исходное изображение может быть спроецировано на бесконечное число плоскостей и все еще казаться неподвижному наблюдателю неизменным. Дезарг изучал, какие свойства фигур оставались неизменными, или инвариантными, при таких проективных преобразованиях. Одним из его достижений было объединение конических сечений — он рассматривал их как проективные преобразования круга, движущегося по световому конусу. Наклонный круг действительно становился эллипсом.

Красота этого подхода заключается в том, что, сформулировав теорему для одного конического сечения, скажем для круга, можно было просто выполнить соответственную проекцию и перетолковать теорему. Однако достижением Дезарга было скорее развитие нового метода, чем создание новаторских теорем. В то же время алгебраическая геометрия Декарта оказалась таким мощным инструментом, что сам Декарт высказал предположение: не исключено, работа Дезарга станет несколько более ясной, если ее перевести на язык алгебры. Позднее Декарт признал, что, возможно, это была придирка к стилю, а не к содержанию. Однако математика того времени двигалась совсем в ином направлении, и работа Дезарга затерялась. И его проективная геометрия, и начертательная геометрия Дюрера возродились позднее, в начале девятнадцатого столетия, уже на надежной математической основе.

Когда великие и искусные художники созерцают свои столь нелепые творения, можно заслуженно высмеивать слепоту этих людей. Нет ничего столь ненавистного, как картины, написанные хотя и с большим усердием, но без наличия технических познаний. Ныне же единственная причина, почему подобные живописцы не знают о своей ошибке, заключается в том, что они не изучали геометрию, без которой никто не может быть совершенным художником, но вина за это должна быть возложена на их учителей, которые сами не осведомлены в этом искусстве.

10. Математика для общего блага

Шестнадцатый век в Европе отмечен обещанием бесконечных возможностей. В предшествующие два столетия континент сотрясался различными бедствиями, как природными, так и созданными руками человека: в середине четырнадцатого столетия Черная смерть выкосила фактически половину населения, не обращая внимания на социальный статус и богатство, закончилась Столетняя война между Англией и Францией, вымотав население этих двух стран и физически, и морально. В 1453 году под ударами оттоманских турок пал Константинополь, что стало концом Византийской империи. Одновременно мы можем увидеть расцвет итальянского Ренессанса и гуманистических традиций, сочетание почтения к античности со вновь открытой верой в личную свободу и образование. Изобретение печати и гравюры означало, что новые идеи могли распространяться шире, чем было возможно до этого. Европа с интересом смотрела на остальной мир, увеличивалось количество заморских путешествий, открытий, завоеваний, расширялась торговля. Но навигация требовала точных карт морей и неба, торговля нуждалась в эффективной бухгалтерии — в то время все это было практически не развито. Алгебра, тригонометрия, начертательная геометрия, логарифмы и исчисление — все это либо появилось впервые, либо активно развивалось. Прежде чем повести рассказ об этих достижениях, стоит сказать о возрастающем в то время статусе математики.

Как мы уже видели ранее, математика была неотъемлемой частью обучения в монастырях, она входила в квадривиум, состоящий из арифметики, геометрии, гармонии и астрономии. Но рабское почтение к древним текстам и тесные границы требований к математике духовных властей ограничивало то, что можно было достичь в рамках этой схоластической традиции. Термин «mathematicus» использовался для того, чтобы обозначить или математика, или астролога (Кеплер жаловался, что получал гораздо больший доход от вычисления астрологических диаграмм, чем от своей работы астронома). Хотя в то время не было пока такого явления, как профессиональный математик, экономический рост в Европе создал потребность в большом количестве людей, обученных вычислениям, которые могли заниматься финансовыми и коммерческими расчетами. Эти должности занимали люди не из университетов, а из гильдий и ремесленных цехов. В эпоху Ренессанса сыновья торговцев получали образование, изучая элементарную математику в школах или цехах. Именно там стало очень популярным использование индо-арабских цифр.