Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков - Владимир Артурович Левшин

перпендикулярно к плоскости проекций, — это уже будет проекция ортогональная. Самая, пожалуй, необходимая из всех, потому что именно она используется в начертательной геометрии.

Фило понимающе кивает. Начерталка! У его соседа-студента от одного этого слова нервный тик делается.

Мате признает, что предмет и в самом деле свирепый. Но, увы, без него, так же, впрочем, как и без сопромата, нет настоящего инженера-конструктора!

— Наивосхитительнейший мсье Мате, — жалобно взмаливается бес, делая еще одну отчаянную попытку вернуть расположение разобиженного математика, — не могли бы вы познакомить меня хоть с одной из работ Дезарга? Я так давно об этом мечтаю!

— Хм… — Мате с досадой отмечает, что злость его на Асмодея испаряется с катастрофической быстротой. — Как-нибудь в другой раз. Впрочем, если вам так уж хочется… — Он решительно хлопает себя по колену. — Ну да ладно, хватит дуться! Вот вам одна, зато чрезвычайно важная, теорема проективной геометрии. Она так и называется: теорема Дезарга.

Он вычерчивает небольшой треугольник, поясняя, что размеры его сторон в данном случае никакого значения не имеют, ставит где-то слева от него точку и проводит из нее три луча так, что каждый из них проходит через одну из вершин треугольника.

— Центральное проектирование, — глубокомысленно определяет Фило.

— Не совсем так, — морщится Мате. — Вернее даже, совсем не так. Ну да сейчас не в том дело… Строим второй треугольник, тоже с тем расчетом, чтобы каждая из трех его вершин оказалась на одном из трех лучей… Незачем говорить, что таких треугольников можно нагородить сколько угодно. А теперь продолжим в одном и в другом треугольнике те стороны, концы которых лежат на общих лучах, до тех пор, пока они не пересекутся. Точки пересечения обозначим пожирнее и увидим, что все они, эти точки, лежат на одной прямой.

Бес изучает чертеж с неподдельным интересом. Так вот она какая, теорема Дезарга! Очень, очень оригинальна… Теперь бы еще разузнать доказательство — и более счастливого черта не сыщешь во всей преисподней!

По правде говоря, тонкий намек его ни к чему, ибо если сам Асмодей жаждет получить объяснения, то Мате просто умирает от желания дать их. Он уже готовится произнести свое излюбленное «итак», но Фило, который как раз в это время на собственном опыте постигает справедливость пословицы «Голод не тетка», зажимает ему рот ладонью.

— Только не теперь! Вы что, хотите, чтобы я съел себя самого?

Вид у него такой воинственный, что Мате нехотя уступает. В конце концов, для доказательств есть у них домашние итоги. Хотя кое-что надо бы подытожить сейчас: они так увлеклись разговором о двух великих «Д», что совсем забыли о великом «П»!

— О Паскале, что ли? — нетерпеливо расшифровывает Фило. — По-моему, тут и так все ясно! Паскаль — ученик и последователь Дезарга.

Но Мате столь куцый вывод явно не устраивает. Последователи, говорит он, бывают разные. Одни рабски повторяют кем-то найденное, другие — творят заново. В данном случае не то главное, что Паскаль, совсем еще, в сущности, мальчик, в совершенстве овладел сложными приемами Дезарга, а то, что он проявил себя зрелым ученым и обогатил метод учителя. Доказательство тому — «Опыт о конических сечениях», юношеский трактат Паскаля. Он невелик — всего 53 строки. Но изложенные в нем теоремы заставили говорить о себе всю ученую Францию! А одна из них — теорема о шестивершиннике (Дезарг назвал ее «великой паскалевой») — навсегда останется в числе главных теорем проективной геометрии.

— Ага! — азартно уличает Фило. — Вот когда вы раскрыли свои карты! Вы, как и Паскаль, тоже сторонник Дезарга. И не вздумайте отпираться! Очень уж горячо вы о нем говорите.

Колючие глазки Мате разглядывают его с подчеркнутым любопытством. Ну и упрямец! Умри, а скажи ему, кто лучше: Декарт или Дезарг. Но что же делать, если оба хороши!

— Вот и прекрасно! — весьма непоследовательно сдается Фило. — А теперь — завтракать, завтракать и в третий раз завтракать!

Он достает откуда-то из-за пазухи нечто завернутое в белоснежную салфетку и жестом первоклассного официанта отгибает туго накрахмаленные уголки.

— Прошу!

Мате подозрительно косится на содержимое свертка. Неужто паштет Генриха Второго? В таком случае, завтрак не для него. О, он отнюдь не привередлив, скорее напротив. Но питаться паштетом двадцатилетней давности?! Слуга покорный!

Асмодей, впрочем, убеждает его, что межвременные перелеты на свежести продуктов не отражаются, и мгновение спустя воздушное трио уплетает так, что за ушами трещит.

— Эх, хорош был завтрак! — говорит Фило, мечтательно орудуя зубочисткой. — К нему бы еще подходящий десерт…

— Могу предложить мою собственную теорему, — невозмутимо отзывается Мате.

Фило довольно ядовито замечает, что имел в виду десерт, а не диссертацию. Но Мате говорит, что диссертация куда полезнее: от нее по крайней мере не толстеют.

Он вычерчивает треугольник («Совершенно произвольный, заметьте!»). На каждой из его сторон, снаружи («А можно и внутри, значения не имеет…»), строит еще по одному треугольнику — теперь уже равностороннему. Отмечает карандашом центры тяжести во всех трех, заново построенных, и соединяет их прямыми.

— Вот и все! Обратите, пожалуйста, внимание на то, что последний, пятый треугольник получился тоже равносторонний.

— Случайность? — предполагает Фило.

— Закономерность.

— Ну, это еще надо доказать…

— Вот и доказывайте. Кто ж вам мешает?

— Один?! — пугается Фило. — Без вашей помощи?

— А то как же! Само собой, тут вам не обойтись без наводящих сведений. Кое-что, так и быть, подброшу. Прежде всего необходимо использовать теорему Пифагора, далее — уметь находить центр тяжести треугольника и вычислять расстояние между двумя точками по их координатам. И, наконец, знать координаты вершин исходного треугольника.

— Милль реконнесса́нс… тысяча благодарностей, мсье! — рассыпается бес. — Теорема Пифагора — это как раз по мне. Несколько хуже, правда, обстоит дело с расстоянием между двумя точками. Это уж, по-моему, из аналитической геометрии.

— Сущие пустяки! — отмахивается Мате. — Обозначьте координаты точек: X1, Y1 и Х2,Y2 — А расстояние между ними — буквой d. Тогда, опять-таки по теореме Пифагора,

d2 = (Х1—Х2)2 + (Y1—Y2)2.

— Учту. Непременно учту, — подобострастно склоняет голову Асмодей. — Не будет ли еще каких-нибудь ценных указаний? ЦУ, как говорят москвичи двадцатого века…

—