Математика в занимательных рассказах - Яков Перельман

Как при таких условиях отличить подлинное открытие от мнимого? Пришлось бы тщательно проверять на опыте каждое указание (кроме, конечно, явно нелепых), т. е. проделать такую огромную лабораторную работу, которая совершенно обесценила бы идеи «литературной» машины.

Точно так же пришлось бы проделать обширные исторические изыскания, чтобы проверить правильность каждого исторического факта, утверждаемого каким-нибудь продуктом механического производства открытий. Словом, ввиду полной невозможности отличать истину ото лжи, подобный «механический» способ двигать науку вперед был бы совершенно бесполезен, даже если бы каким-нибудь чудом удалось дождаться осмысленного оттиска.

Интересно отметить здесь следующий расчет Бореля (из книги «Случай»): вероятность выпадения орла 1000 раз подряд при игре в орлянку равна 21000, т. е. числу, содержащему около 300 цифр. Этот шанс приблизительно таков же, как и шанс получить две первых строки определенного стихотворения, вынимая наудачу из шапки буквы по следующему способу: в шапке 25 букв, одна из них вынимается, записывается и кладется обратно в шапку, после встряхивания вынимается вторая и т. д. Строго говоря, получить таким образом две первых строки определенного стихотворения вполне возможно. «Однако, — замечает Борель, — это представляется нам до такой степени маловероятным, что если бы подобный опыт удался на наших глазах, мы считали бы это плутовством».[32]

Пирамида Хеопса и ее тайны

Я. И. Перельман

Высочайшая пирамида Древнего Египта — Хеопсова, уже пять тысячелетий обвеваемая знойным воздухом пустыни, представляет, без сомнения, самую удивительную постройку, сохранившуюся от Древнего мира. Высотою почти в полтораста метров, она покрывает своим основанием площадь в 40 тысяч квадратных метров и сложена из двухсот рядов исполинских камней. Сто тысяч рабочих в течение 30 лет трудились над возведением этого сооружения, — сначала подготовляя 10 лет дорогу для перевозки камней от каменоломни до места постройки, а затем громоздя их 20 лет друг на друга помощью несовершенных машин того времени.

Кажется странным, чтобы такое огромное сооружение воздвигнуто было с единственною целью — служить гробницею для правителя страны. Поэтому некоторые исследователи стали доискиваться: не раскроется ли тайна пирамиды из соотношения ее размеров?

Им посчастливилось, по их мнению, найти ряд удивительных соотношений, свидетельствующих о том, что жрецы, руководители работ по постройке, обладали глубокими познаниями по математике и астрономии и эти познания воплотили в каменных формах пирамиды.

«Геродот[33] рассказывает, — читаем мы в книге французского астронома Море (Загадки науки, 1926 г., т. I), — что египетские жрецы открыли ему следующее соотношение между стороною основания пирамиды и ее высотою: квадрат, построенный на высоте пирамиды, в точности равен площади каждого из боковых треугольников. Это вполне подтверждается новейшими измерениями. Вот доказательство, что во все времена пирамида Хеопса рассматривалась как памятник, пропорции которого рассчитаны математически.

Приведу более позднее доказательство: мы знаем, что отношение между длиною окружности и ее диаметром есть постоянная величина, хорошо известная современным школьникам. Чтобы вычислить длину окружности, достаточно умножить ее диаметр на 3,1416.

Математики древности знали это отношение лишь грубо приближенно.

Но вот, если сложить четыре стороны основания пирамиды, мы получим для ее обвода 931,22 метра. Разделив же это число на удвоенную высоту (2 × 148,208), имеем в результате 3,1416, т. е. отношение длины окружности к диаметру. (Другие авторы из тех же измерений пирамиды выводят значение п с еще большею точностью: 3,14159 — Я. П.)

Этот единственный в своем роде памятник представляет собою, следовательно, материальное воплощение числа „пи“, игравшего столь важную роль в истории математики. Египетские жрецы имели, как видим, точные представления по ряду вопросов, которые считаются открытиями ученых позднейших веков[34]».

Еще удивительнее другое соотношение: если сторону основания пирамиды разделить на точную длину года — 365,2422 суток, то получается как раз 10-миллионная доля земной полуоси, с точностью, которой могли бы позавидовать современные астрономы…

Далее: высота пирамиды составляет ровно миллиардную долю расстояния от Земли до Солнца — величины, которая европейской науке стала известна лишь в конце XVIII века. Египтяне 5000 лет назад знали, оказывается, то, чего не знали еще ни современники Галилея и Кеплера, ни ученые эпохи Ньютона. Неудивительно, что изыскания этого рода породили на Западе обширную литературу.

А между тем все это — не более как пустая игра цифрами. Дело представится совсем в другом свете, если подойти к нему с элементарными правилами оценки результатов приближенных вычислений.

Рассмотрим же по порядку те примеры, которые мы привели:

1) О числе «пи». Арифметика приближенных чисел утверждает, что если в результате действия деления мы желаем получить число с шестью верными цифрами (3,14159), мы должны иметь в делимом и делителе, по крайней мере, столько же верных цифр. Это значит, в применении к пирамиде, что для получения шестизначного «пи» надо было измерить стороны основания и высоту пирамиды с точностью до миллионных долей результата, т. е. до одного миллиметра. Астроном Море приводит для высоты пирамиды — 148,208 м, на первый взгляд как будто действительно с точностью до 1 мм.

Но кто поручится за такую точность измерения пирамиды? Вспомним, что лаборатория Палаты мер и весов, где производятся точнейшие в мире измерения, не может при измерении длины добиться такой точности (она получает при измерении длины лишь 6 верных цифр). Понятно, насколько грубее может быть выполнено измерение каменной громады в пустыне. К тому же истинных, первоначальных размеров пирамиды давно нет в натуре, так как облицовка ее выветрилась и никто не знает, какой она была толщины. Чтобы быть добросовестным, надо брать размеры пирамиды в целых метрах; а тогда получается довольно грубое «пи», — не более точное, чем то, которое мы извлекаем из математического папируса Ринда.

Если пирамида действительно есть каменное воплощение числа «пи», то воплощение это, как видим, далеко не совершенное. Но вполне допустимо, что пирамида не сооружена ради выражения именно этого соотношения. В пределы приближенных трехзначных выражений для размеров пирамиды хорошо укладываются и другие допущения. Возможно, например, что для высоты пирамиды было взято 2/3 ребра пирамиды или 2/3 диагонали ее основания. Вполне допустимо и то соотношение, которое было указано Геродотом: что высота пирамиды есть квадратный корень из площади боковой грани. Все это догадки, столь же вероятные, как и «гипотеза пи».

2) Следующее утверждение касается продолжительности года и длины земного радиуса: если разделить сторону основания пирамиды на точную длину года (число из 7 цифр), то получим в точности 10-миллионную долю земной оси (число из 5 цифр). Но раз мы уже знаем, что в делимом у нас не больше трех верных цифр, то ясно, какую цену имеют здесь эти 7 и 5 знаков в делителе и в частном. Арифметика уполномочивает нас в этом случае только на 3 цифры в длине года и земного радиуса. Год в 365 суток и земной радиус около 6400 километров — вот числа, о которых мы вправе здесь говорить.

3) Что же касается расстояния от Земли до Солнца, то здесь недоразумение иного рода. Странно даже, как приверженцы теории могут не замечать допускаемой ими здесь логической ошибки. Ведь если, как они утверждают, сторона пирамиды составляет известную долю земного радиуса, а высота — известную долю основания, то нельзя уже говорить, будто та же высота составляет определенную долю расстояния до Солнца. Что-нибудь одно — либо то, либо другое. А если случайно тут обнаруживается любопытное соответствие, то оно испокон веков существовало в нашей планетной системе, и никакой заслуги египтян в этом быть не может.

Сторонники рассматриваемой теории идут еще далее: они утверждают, что масса пирамиды составляет ровно одну тысячебиллионную долю массы земного шара. Это соотношение, по их мнению, не может быть случайным и свидетельствует о том, что древнеегипетские жрецы знали не только геометрические размеры нашей планеты, но и задолго до Ньютона и Кавендиша исчислили ее массу, «взвесили» земной шар.

Однако здесь та же нелогичность, что и в примере с расстоянием от Земли до Солнца. Совершенно нелепо говорить о том, будто масса пирамиды «выбрана» в определенном соответствии с массою земного шара. Масса пирамиды определилась с того момента, как назначены были размеры ее основания и высоты. Нельзя одновременно сообразовать высоту пирамиды с основанием, составляющим определенную долю земного радиуса, — и независимо от этого ставить ее массу в связь с массою Земли. Одно определяется другим. Значит, должны быть отвергнуты всякие домыслы