2a. Пространство. Время. Движение - Ричард Фейнман

Уравнение это приближенное, потому что оно справедливо только для больших Q. За каждый радиан система теряет 1/Q часть запасенной энергии Е. Значит, за промежуток времени dt энергия уменьшится в (wdt/Q раз (частота появляется при переводе радианов в настоящие секунды). А какая это частота? Предположим, что система устроена очень жестко, поэтому даже при действии силы она сколько-нибудь заметно колеблется толь­ко со своей собственной частотой. Поэтому будем считать, что w — это резонансная частота w0. Таким образом, из уравнения (24.8) следует, что запасенная энергия меняется

следующим образом:

Теперь нам известно значение энергии в любой момент. Какой будет приближенная формула, определяющая амплитуду коле­баний как функцию времени? Той же самой? Нет! Потенциаль­ная энергия пружины изменяется как квадрат смещения, кинетическая энергия — как квадрат скорости; это приводит к тому, что полная энергия пропорциональна квадрату сме­щения. Таким образом, смещение (амплитуда колебаний) будет уменьшаться с половинной скоростью. Иначе говоря, мы ожидаем, что решение в случае затухающего переходного дви­жения будет выглядеть как колебание с частотой, близкой к ре­зонансной частоте w0; амплитуда этого колебания будет умень­шаться как ехр(-gt/2)

Эта формула и фиг. 24.1 дают представление о том, чего следует ожидать, а теперь приступим к точному анализу движе­ния, т. е. к решению дифференциального уравнения движения.

Фиг. 24.1. Затухающие колебания.

Как же решить уравнение (24.1), если выкинуть из него внешнюю силу? Будучи физиками, мы интересуемся не столько методом, сколько самим решением. Поскольку мы люди уже опытные, попытаемся представить решение в виде экспоненци­альной кривой, х=Аexp(iat). (Почему мы так поступили? Оттого, что экспоненту легче всего дифференцировать!) Подставим это выражение в (24.1), помня о том, что каждое дифференцирование х по времени сводится к умножению на ia [напомним, что F(t)=0]. Сделать это очень легко, и наше уравнение примет вид

( -a2+iga+w20)Аеiat=0. (24.11)

Левая часть равенства должна быть равна нулю все время, но это возможно только в двух случаях: а) А=0, однако это даже и не решение: ведь тогда все покоится, или б)

Если мы сможем решить это уравнение и найти a, то мы найдем и решение, амплитуда которого А не обязательно равна нулю!

Чтобы не думать о том, как извлечь квадратный корень, предположим, что g меньше w0, и поэтому w20-g2/4 — положи­тельная величина. Беспокоит другое: почему мы получили два решения! Им соответствуют

и

Займемся пока первым решением, предположив, что мы ничего не знаем о том, что квадратный корень принимает два значе­ния. В этом случае смещение х равно x1=Aexp(ia1t), где А — произвольная постоянная. Чтобы сократить запись, введем специальное обозначение для входящего в at квадратного корня:

Так, и , или, если воспользоваться замечательным свойством экспоненты,

Итак, система осциллирует с частотой wg , которая в точности не равна частоте w0, но практически близка к ней, если система достаточно добротна. Кроме того, амплитуда колебаний экспо­ненциально затухает! Если взять действительную часть (24.16), то мы получим

Это решение очень напоминает угаданное нами решение (24.10), вот только частота немного другая, wg. Но это лишь небольшая поправка, значит, первоначальная идея была правильной.

И все-таки не все благополучно! А не благополучно то, что су­ществует второе решение.

Этому решению соответствует a2, и оно отличается от пер­вого лишь знаком wg

Что все это значит? Скоро мы докажем, что если x1и х2— воз­можные решения (24.1) при F(t)=0, то х1+х2—тоже решение этого уравнения! Таким образом, общее решение имеет вид

Теперь можно спросить: «А, собственно, зачем нам беспокоить себя еще одним решением, если нас вполне устраивало первое? К чему эти дополнительные решения, если мы все равно должны взять только действительную часть?» Мы знаем, что нужно взять действительную часть, но откуда математика знает, что мы хо­тим взять действительную часть? Когда у нас была внешняя сила F(t), то мы ее дополнили искусственной силой, и она каким-то образом управляла мнимой частью уравнения. Но когда мы по­ложили F(t)=0, то соглашение о том, что, каково бы ни было х, нужно взять только его действительную часть, стало нашим лич­ным делом, и математическое уравнение об этом ничего не знало. В мире физики есть только действительные решения, но реше­ние, которому мы так радовались, комплексно. Уравнению не из­вестно, что мы делаем совершенно неожиданный шаг и отбираем только действительную часть, и оно предлагает нам еще, так сказать, комплексно сопряженное решение, чтобы, сложив оба решения, мы получили настоящее действительное решение; вот для чего мы взяли еще и a2. Чтобы х было действительным, Ввхр(-iwgt) должно быть комплексно сопряженным к Aexp(iwgt) числом, тогда мнимая часть исчезнет. Таким образом, В долж­но быть комплексно сопряжено с А, поэтому наше решение имеет вид

Значит, наши колебания — это колебания с фазовым сдвигом и, как полагается, с затуханием.

§ 3. Переходные колебания в электрических цепях

Посмотрим, как выглядят переходные колебания. Для этого соберем цепь, изображенную на фиг. 24.2.

Фиг. 24,2. Электрическая цепь для демонстраций переходных колебаний.

В этой цепи разность потенциалов между концами индуктивности L поступает в осцил­лоскоп. Неожиданное включение рубильника S включает допол­нительное напряжение и вызывает в осцилляторной цепи переходные колебания. Эти колебания аналогичны колебаниям механического осциллятора, вызванными неожиданным ударом. Сама цепь представляет собой электрический аналог механи­ческого осциллятора с затуханием, и мы можем наблюдать коле­бания при помощи осциллоскопа. Он покажет нам кривые, анализом которых мы и займемся. На фиг. 24.3—24.6 представ­лены кривые затухающих колебаний, полученные на экране осциллоскопа. На фиг. 24.3 показаны затухающие колебания в цепи с большой Q, т. е. с малым значением g.

Фиг. 24.3. Затухающие коле­бания.

В такой цепи ко­лебания затухают не очень быстро; мы видим довольно длинную синусоиду с медленно убывающим размахом.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы будем уменьшать Q, так что колебания должны затухать быстрее. Чтобы уменьшить Q, увеличим сопротивление цепи R. При повороте ручки сопротивления колебания действительно зату­хают скорее (фиг. 24.4).

Фиг. 24.4. Колебания затухают быстрее.

Если еще увеличить сопротивление, то колебания затухнут еще быстрее (фиг. 24.5).

Фиг, 24.5. Колебания почти исчезли.

Но если сопротив­ление увеличить сверх некоторого предела, колебаний мы вооб­ще не увидим. А может быть, нам просто отказывают глаза? Увеличим еще сопротивление и получим тогда кривую, пред­ставленную на фиг. 24.6; по ней можно лишь с натяжкой сказать, что в цепи произошли колебания, ну разве что одно.

Фиг. 24.6. Колебаний нет.

Можем ли мы математически объяснить это явление?

Сопротивление механического осциллятора, конечно, про­порционально g. В нашем случае g— это R/L. Теперь, если уве­личивать g, то в столь приятных нам решениях (24.14) и (24.15) наступает беспорядок; когда g/2 становится больше w0, реше­ния приходится записывать по-другому: