Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс

Как мы уже отмечали, таблицу умножения с основанием 12 учить определенно легче. Но еще одно величайшее преимущество этого основания заключается в том, что оно облегчает действия с дробями. Когда вы собираетесь поделить одно число на другое, основание 10 зачастую проявляет изрядную строптивость. Например, одна треть от 10 равна 3,33…, где тройки продолжаются до бесконечности. Четверть от 10 равна 2,5, где потребовался разряд после запятой. При основании же 12 треть от 10 — это 4, а четверть от 10 — это 3. Неплохо, правда? Будучи выражена в процентах, треть становится 40 процентами[5], а четверть — 30 процентами. На самом деле, если посмотреть, как именно 100 делится на числа от 1 до 12, то станет ясно, что основание 12 приводит к более компактной системе:

Доля от 100 Десятичн. Дюжинн. Целое 100 100 Половина 50 60 Треть 33,333… 40 Четверть 25 30 Пятая 20 24;97… Шестая 16,666… 20 Седьмая 14,285 18;6Χ35… Восьмая 12,5 16 Девятая 11,111… 14 Десятая 10 12;497… Одиннадцатая 9,09… 11;11… Двенадцатая 8,333… 10

(точка с запятой означает «дюжинную запятую»)

Именно из-за этой возросшей точности основание 12 оказывается лучше приспособлено к тому, что требуется Майклу. Пусть даже его клиенты сообщают ему замеры в десятичной системе, он все равно предпочитает перевести их в дюжинную. «У меня появляется больше свободы, когда дело касается разбиения на несколько частей, — говорит он. — Когда не имеешь дела с путаными дробями, легче удостовериться, что все ко всему подходит. Иногда, из-за сжатых сроков или внесенных в последний момент изменений, мне приходится быстро много чего поменять прямо на месте, — сделать такое, что не укладывается в первоначальную разметку. Вот тогда важно иметь предсказуемые простые отношения. Для дюжин у меня больше выбора, с ними проще, чем с десятками, и делается все быстрее». Более того, Майкл полагает, что использование основания 12 дает его бизнесу определенное преимущество, подобное тому, что получают велосипедисты и пловцы, полностью сбривая волосы на ногах.

Первейшая задача АДО состоит в том, чтобы числительные, выражающие дек и эл, присутствовали в стандарте кодирования «Unicode» — наборе текстовых символов, используемом большинством компьютеров. На самом деле в обществе ведутся серьезные дебаты о том, какие именно символы использовать. Принятые в АДО стандартные символы Χ и Ƹ изобрел в 1940-х годах Уильям Эддисон Двиггинс — один из самых значительных дизайнеров типографских шрифтов в Соединенных Штатах, создавший шрифты Futura, Caledonia и Electra. Французский приверженец основания 12 Жан Эссиг предпочитает символы  и . Некоторые, настроенные более практично, склонны использовать символы * и #, потому что они уже присутствуют среди 12 кнопок на панели телефона. Выбор слов для этих чисел — также дело вкуса. «Учебник по дюжинной системе» (написанный в 1960 — или, если считать по-дюжинному, в 1174 году) рекомендует термины дек, эл и дю (а еще гро для 100, мо для 1000 и дю-мо, гро-мо, би-мо и три-мо для следующих в порядке возрастания степеней числа дю). Другое предложение состоит в том, чтобы сохранить слова десять, одиннадцать и двенадцать, но далее продолжать счет как двен-один, двен-два. Вопрос о терминологии оказался столь чувствительным, что АДО благоразумно не спешит пропагандировать какую-либо одну систему.

Пристрастие Майкла к авангардным основаниям не ограничилось числом 12. Он побаловался немного с числом 8 — его он иногда использует, когда мастерит что-нибудь по дому. «Я использую основания как инструменты», — говорит он. Он экспериментирует и увеличивая основания — так он добрался до основания 60. Эта задача потребовала от него изобретения 50 новых символов в дополнение к тем 10 цифрам, что уже имеются. Здесь он не ставил перед собой задач практических. По его словам, работа в системе с основанием 60 — это как подъем на высокую гору. «Я не в состоянии там жить. Слишком большая группировка получается. Внизу, в долине, числа группируются по десять, и там я могу дышать. Но при подъеме на гору мне открывается впечатляющий вид». Он составил таблицу делителей по основанию 60 — что называется еще шестидесятеричной системой — и зачарованный глядел на открывающиеся там закономерности. «Определенно там скрывается красота», — сказал он мне.

Хотя использование основания 60 может показаться плодом нездорового воображения, шестидесятеричная система имеет солидную историческую родословную. Это и в самом деле самая древняя из известных нам основных систем счисления.

* * *

Простейшие обозначения для чисел — это насечки или зарубки. В различных формах они использовались по всему миру. Инки вели счет, завязывая узелки на веревке, а обитатели пещер наносили метки на скальные стены. С момента изобретения деревянной мебели столбики кровати размечаются — по крайней мере, метафорически — насечками. Полагают, что самый древний из открытых «математических артефактов» — найденная в пещере в Свазиленде счетная палочка, сделанная из берцовой кости бабуина, ее возраст насчитывает 35 000 лет. На этой палочке, называемой «костью из Лебомбо», нацарапаны 29 линий, вероятно обозначавших лунный цикл.

Как мы видели в предыдущей главе, люди способны очень быстро заметить различие между одним предметом и двумя, между двумя и тремя, но после четырех это становится трудней. То же касается и насечек. Во всякой системе организации насечек, которая претендует на удобство в использовании, насечки требуется группировать. В Соединенных Штатах принято сначала ставить четыре вертикальные линии, а затем пятой перечеркивать их по диагонали — получаются так называемые «five-bar gate» — «ворота из пяти перекладин». В Южной Америке предпочитают другой стиль, когда первые четыре линии образуют квадрат, а пятая представляет собой диагональ в этом квадрате. Японцы, китайцы и корейцы используют более изощренный метод, собирая черточка за черточкой иероглиф , означающий «правильно» или «верно». (Когда вы в следующий раз будете в суши-баре, попросите официанта показать, как он считает выбранные вами тарелочки.)

Около 8000 года до н. э. наши предки начали использовать небольшие кусочки глины с нанесенными на них отметками для оценки количества различных предметов. Таким способом записывалось, например, число продаваемых или покупаемых овец. Различные кусочки глины соответствовали различным объектам или различному количеству объектов. В результате стало возможным пересчитывать овец без необходимого участия их самих, что значительно упростило торговлю. Этот момент и знаменует рождение того, что мы теперь понимаем под числами.

В четвертом тысячелетии до н. э. в Шумере, древнем государстве, находившемся на территории современного Ирака, эта система символов превратилась в систему записи — на незатвердевшей глине заостренной палочкой из тростника делались специальные отметки. Числа сначала записывались как кружки или овалы, подобные форме ногтей. Около 2700 года до н. э. у палочки для письма появился плоский край, и отметки стали выглядеть примерно как следы, оставленные птичьими лапками, причем отметки различной формы соответствовали различным числам. Возникшее таким образом письмо, названное клинописью, ознаменовало начало долгой истории западных систем письма. И тут просто напрашивается занятная мысль: а ведь вся писменность (и литература), в конце концов, оказалась побочным продуктом развития системы численных обозначений!