Пятьсот двадцать головоломок - Генри Дьюдени

Какое число Хильда умножала на 409?

171. Семнадцать лошадей.

— Я думаю, что вы знаете эту старую головоломку, — сказал Джеффрис. — Один фермер по завещанию оставил трем своим сыновьям 17 лошадей, которые нужно было разделить между ними в следующих пропорциях: старшему ½, среднему ⅓ и младшему . Как разделить лошадей?

— Да, по-моему, мы все ее знаем, — ответил Робинсон, — но она не имеет решения. Тот ответ, который всегда дают, ошибочен.

— Вы имеете в виду, — вступил в разговор Проджерс, — то решение, где сыновья занимают еще одну лошадь у соседа, чтобы получилось 18, а затем берут соответственно по 9, 6 и 2 лошади и возвращают занятую лошадь соседу?

— Вот именно, — сказал Робинсон, — причем каждый сын получает больше, чем ему полагалось.

— Стоп! — воскликнул Бенсон. — Вы не правы. Ведь если бы каждый сын получил больше, чем ему причиталось, то всего лошадей стало бы больше 17, но 9, 6 и 2 дают в сумме ровно 17.

— На первый взгляд это действительно кажется странным, — заметил Робинсон, — но все дело в том, что если бы каждый сын получил положенную ему долю наследства, то всего им досталось бы меньше 17 лошадей. Фактически еще осталась бы нетронутая часть. Задача и в самом деле не имеет решения.

— А вот здесь-то вы все и ошибаетесь, — заметил Джеффрис. — Условия завещания можно выполнить совершенно точно, не покалечив ни одной лошади.

К общему изумлению, он показал, как это сделать. Как поделить лошадей в строгом соответствии с завещанием?

172. Равные периметры. Рациональные прямоугольные треугольники занимали воображение людей еще во времена Пифагора, задолго до нашей эры. Каждому школьнику известно, что стороны таких треугольников, выраженные обычно в целых числах, обладают тем свойством, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Так, на рисунке в случае А квадрат 30 (900) плюс квадрат 40 (1600) равен квадрату 50 (2500); то же верно и в случаях В, С. Легко проверить, что у данных трех треугольников одинаковые периметры. Сумма длин всех сторон равна в каждом случае 120.

Можете ли вы найти 6 рациональных прямоугольных треугольников с одинаковым (наименьшим из возможных) периметром? Эта задача не столь трудна, как головоломка «Четыре принца» из моей книги «Кентерберийские головоломки»[11], где требовалось найти четыре таких треугольника равной площади.

173. Потомство коровы. «Допустим, — сказал мой приятель фермер Ходж, — что моя корова в двухлетнем возрасте даст в приплод телку. Допустим также, что она будет приносить по телке каждый год и что каждая из телок, достигнув двухлетнего возраста, последует примеру матери и будет ежегодно приносить по телке и т. д. Скажи-ка теперь, каково будет потомство этой коровы через 25 лет?»

Из пояснений Ходжа явствовало, что время он отсчитывал со дня рождения самой первой коровы и что за все 25 лет у него не будет ни своей говядины, ни своей телятины.

174. Сумма, равная произведению.

— Подумать только, — сказал мне один человек, — существуют два числа, сумма которых равна их произведению; то есть получится одно и то же, сложите ли вы их или перемножите между собой. Это 2 и 2, так как их сумма и произведение равны 4.

Далее он допустил грубую ошибку, сказав:

— Я обнаружил, что это единственные два числа, обладающие таким свойством.

Я попросил его написать любое число, сколь угодно большое, и сказал, что немедленно укажу другое число так, чтобы их сумма и произведение совпадали. Ему понравилось 987 654 321, и я быстро написал второе число.

Какое именно?

Оказывается, для любого наперед заданного числа существует другое число, вместе с которым оно обладает указанной особенностью. Если читателю об этом не известно, то, быть может, данная задача его заинтересует и он сам попытается найти соответствующую закономерность.

175. Квадраты и кубы. Можете ли вы найти два числа, разность квадратов которых представляет собой куб, а разность кубов — квадрат? Каковы два наименьших числа, обладающих этим свойством?

176. Интересный куб. Чему равна (в метрах) длина ребра куба, у которого:

1) полная поверхность и объем выражаются одним и тем же числом;

2) полная поверхность равна квадрату объема;

3) квадрат полной поверхности равен объему?

177. «Общий делитель». Вот одна головоломка, которую часто задают мне читатели (разумеется, конкретные числа в ней приводятся разные). Корреспондент одной провинциальной газеты сообщил, что многие учителя подорвали свое здоровье в тщетных попытках ее решить! Наверное, он немного преувеличил, потому что вопрос на самом деле простой, правда, если догадаться, с какой стороны к нему подойти.

Он заключается в следующем. Найти число, при делении на которое три числа 480 608, 508 811 и 723 217 давали бы один и тот же остаток.

178. Странное умножение. Меня часто просили объяснить следующий факт, который, несомненно, заинтересует многих читателей, не знавших о нем ранее. Если некто правильно выполняет сложение, но не умеет ни умножать, ни делить на числа, большие 2, то, оказывается, он сможет получить произведение любых двух чисел следующим странным способом. Предположим, например, что требуется умножить 97 на 23. Составляем 2 столбца чисел:

Мы последовательно делим на 2 числа первого столбца, отбрасывая остаток, пока не получим 1, а числа второго столбца столько же раз умножаем на 2. Если вычеркнуть те произведения, которые стоят против четных чисел левого столбца (мы заключили их в скобки), и сложить оставшиеся, то получится правильный ответ: 2231.

Почему?

179. Забракованная пушка. Эту нехитрую головоломку из области артиллерийской техники вы, вероятно, решите не задумываясь. Она настолько проста, что понять ее может даже ребенок. Никаких сведений из области артиллерии для решения головоломки не требуется. Тем не менее кое-кому из моих читателей придется поразмыслить над ней минут пять.

Один изобретатель предложил новое большое орудие комитету, в задачу которого входило рассмотрение подобных вопросов. Изобретатель заявил, что, зарядив пушку один раз, можно сделать из нее 60 выстрелов со скоростью 1 выстрел в минуту. Провели испытания и обнаружили, что пушка делает 60 выстрелов в час. Однако изобретение было отклонено «ввиду несоответствия техническим данным, указанным в заявке».

— Какая нелепость! — возмутился изобретатель. — Вы же видели, что скорострельность пушки была именно такой, как я обещал.

— Ничего подобного, — возразили эксперты, — скорострельность была иной.

Не могли бы вы объяснить, в чем таинственная причина разногласий? Кто был прав, изобретатель или эксперты?

180. Двадцать вопросов. Я вспомнил одну старую игру, в которую часто играл еще в юности. Кто-нибудь загадывает что-нибудь определенное, например Большей Бен, молоток на парадной двери, бой часов в соседней комнате, верхнюю пуговицу на пиджаке приятеля или трубку мистера Болдуина. Вы должны установить, что было загадано, задав не более 20 вопросов, на каждый из которых можно отвечать лишь «да» или «нет».

Задавать вопросы следует осмотрительно, так как, спросив, например: «Это животное, растение или минерал?», вы можете получить неудовлетворительный ответ «да» и тем самым затратите один вопрос впустую. Опытный игрок в «20 вопросов» ошибается редко; мне известны чрезвычайно трудные случаи, когда решение все же удавалось найти именно при таком условии.

Недавно мне предложили один новый вариант этой игры, в котором требуется некоторая изобретательность, причем разные люди могут подойти к решению по-разному. Состоит игра в следующем. Я задумываю шестизначное число. Можно ли угадать его, задав лишь 20 вопросов, на которые я отвечу только «да» или «нет»? После двадцатого вопроса вы должны назвать это число.

181. Карточный фокус. Возьмите обычную колоду карт (всех валетов, дам и королей на этот раз будем считать десятками). Взглянув на верхнюю карту (пусть, к примеру, это будет семерка), положите ее на стол вверх рубашкой, после чего, продолжая считать вслух по порядку: «Восемь, девять, десять...» — и т. д. до 12, вы выкладываете поверх нее другие карты из колоды. Поскольку нижняя карта — семерка, на столе образуется стопка из 6 карт.

Взгляните еще раз на верхнюю карту оставшейся части колоды (пусть, например, это будет «бывшая королева» — теперь десятка), положите ее на стол вверх рубашкой и, продолжая считать по порядку до 12, выкладывайте при каждом счете на стол по одной карте из колоды. На Этот раз в стопке окажется 3 карты (10, 11, 12). Действуйте так до тех пор, пока вы не исчерпаете всю колоду. Если в конце раскладки карт в колоде для полной стопки (до счета 12) окажется недостаточно, отложите недостроенную стопку в сторону.

Сообщите теперь мне, сколько у вас получилось стопок и сколько карт вы отложили в сторону, и я тотчас же сообщу вам сумму значений нижних карт во всех стопках. Для этого я просто умножу на 13 число стопок, уменьшенное на 4, и прибавлю число отложенных в сторону карт. Например, если окажется 6 стопок и 5 лишних карт, то 13, умноженное на 2 (6 минус 4), плюс 5 равно 31, сумме нижних карт.