Зеркальный мир - Вернер Гильде

При ближайшем рассмотрении этих отдельных элементов оказывается, что по меньшей мере два из них имеют одинаковые форму и размеры, но относятся друг к другу как левая и правая перчатки. Создатели головоломок такого рода, очевидно, надеются, что играющие не сразу уловят это различие. Если припомнить, сколько раз мы путали правые и левые перчатки, придется признать, что такие надежды не лишены основания.

Совместить эти элементы практически невозможно. Следует заметить, что, употребляя здесь (или где-то ниже) выражение «практически возможно», мы имеем в виду осуществление подобного задания на практике.

В машинном отделении корабля двигатели имеют симметричное расположение

Но ведь существуют еще и математические или физические методы, позволяющие совмещать элементы хотя бы теоретически или по внешним признакам, - это и явится предметом дальнейшего рассмотрения. И поскольку здесь говорилось о совмещении одного элемента с другим, следует особо отметить одно важное обстоятельство. Во Флатландии можно было бы совместить плоские фигуры, вынув их из плоскости и повернув в пространстве. В Лайнландии точно так же понадобилось бы всего одним измерением больше: один поворот в плоскости, и отрезки становятся совместимыми.

Но пространственные постройки мы можем повернуть только в пространстве! А поскольку четвертое измерение, несмотря на все рассуждения Гаусса, для нас закрыто, трудно даже вообразить, как практически (!) можно развернуть наши «кирпичики» где-то, помимо трехмерного пространства, чтобы они совместились друг с другом!

В повседневной жизни нам очень часто приходится решать подобные головоломки (я подчеркиваю: именно решать практически, а не играть!), например при упаковке различных предметов. Или, к примеру, представьте себе радиаторы центрального отопления. У одних из них вентиль для регулировки находится слева, у других - справа. Каким образом соединить несколько радиаторов в одну батарею?

Холодильники, кухонные плиты и другие предметы домашнего обихода обычно исполняются с право- и левосторонним расположением ручек, ключей, кранов. Фантастическая возможность поворота подобных предметов в четвертом измерении очень порадовала бы всех, кто имеет дело с их перевозкой и установкой.

ЗАГЛЯНИТЕ В СЛОВАРЬ!

В начале книги мы назвали человека существом симметричным. В дальнейшем же термин «симметрия» больше не употреблялся. Однако вы уже, наверное, заметили, что во всех случаях, когда отрезки прямой, плоские фигуры или пространственные тела были подобными, но без дополнительных действий совместить их было нельзя, «практически» нельзя, мы встречались с явлением симметрии. Эти элементы соответствовали друг другу, как картина и ее зеркальное отражение. Как левая и правая рука. Если мы возьмем на себя труд заглянуть в «Словарь иностранных слов», то обнаружим, что под симметрией понимается «соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра... такое расположение точек относительно точки (центра симметрии), прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), при котором каждые две соответствующие точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одном перпендикуляре к оси или плоскости симметрии, находятся от них на одинаковом расстоянии...» (Словарь иностранных слов: Изд. 7-е, переработанное. -М.; Русский язык 1980, с. 465)

И это еще не все, как часто бывает с иностранными словами, значений у слова «симметрия» существует множество. В том-то и состоит преимущество подобных выражений, что их можно использовать в случае, когда не хотят дать однозначное определение или просто не знают четкого различия между двумя предметами.

При всей прихотливости формы цветок орхидеи симметричен

Термин «соразмерный» мы применяем по отношению к человеку, картине или какому-либо предмету, когда мелкие несоответствия не позволяют употребить слово «симметричный».

Раз уж мы роемся в справочниках, давайте заглянем в Энциклопедический словарь (Советский энциклопедический словарь - М.: Советская энциклопедия, 1980, с. 1219-1220). Мы обнаружим здесь шесть статей, начинающихся со слова «симметрия». Кроме того, это слово встречается во множестве других статей.

В математике слово «симметрия» имеет не меньше семи значений (среди них симметричные полиномы, симметрические матрицы). В логике существуют симметричные отношения. Важную роль играет симметрия в кристаллографии (кое-что об этом вы еще прочтете в этой книге). Интересно интерпретируется понятие симметрии в биологии. Там описывается шесть различных видов симметрии. Мы узнаем, например, что гребневики дисимметричны, а цветки львиного зева отличаются билатеральной симметрией. Мы обнаружим, что симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит здесь от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично.

Цветы кальцеолярии симметричны. Ось симметрии проходит вдоль стебля

Итак, надо договориться, о какой именно симметрии пойдет у нас речь. Независимо от характера рассматриваемых предметов основной интерес для нас будет представлять зеркальная симметрия - симметрия левого и правого. Мы увидим, что это кажущееся ограничение уведет нас далеко в мир науки и техники и позволит время от времени подвергать испытанию способности нашего мозга (так как именно он запрограммирован на симметрию).

ИГРА В ТОЧКИ И ЛИНИИ

Мы еще не ушли от Лайнландии и Флатландии. И на то есть особая причина. Если даже там и нет обитателей, то сами-то прямые и плоскости вполне реальны!

Поразмыслим, как обстоит с симметрией на прямой. С помощью двух спичек мы можем очень просто представить себе два возможных случая. (Некоторые стороны этой ситуации мы уже рассмотрели раньше.) Спички могут лежать головками в одну сторону. Тогда они легко совмещаются. Или же головками (или кончиками) друг к другу. В этом случае на прямой существует точка, в которой зеркало можно поставить таким образом, что наступит кажущееся совмещение спички со своим отражением. Другими словами, на прямой существует центр симметрии. Нам придется представить, что зеркало уместилось в одной точке и в нем отражается половинный отрезок прямой. В математических рассуждениях это вполне возможно.

Плоские фигуры 'отражаются' в осях симметрии

При построениях на плоскости наше зеркало может по-прежнему оставаться точкой, а может быть и прямой. Наверное, правильнее сказать в обратном порядке: зеркалом будет служить прямая или точка. Ведь если где-то есть прямая, то на ней возможен точечный центр симметрии.

Зеркальные отражения половинок плоскостей выглядят так же, как и реальные плоскости: путем поворота плоскости вокруг прямой - зеркала - ее можно совместить с отражением, отсюда и возникло выражение «ось симметрии».

Круг имеет бесконечное множество осей симметрии. 'Лист клевера' - только одну

Итак, мы знаем теперь, что представляют собой центр симметрии и ось симметрии, а также то, что какой-то предмет (возьмем это нейтральное слово) является симметричным, если одна его половина соотносится с другой, как изображение и его зеркальное отражение.

У круга имеется бесконечное множество осей симметрии, и все они проходят через общий центр симметрии. У других фигур число осей симметрии конечно, но все равно все оси (две их или больше) проходят через центр симметрии. Это значит, что мы можем развернуть фигуру на какой-то определенный угол (максимально на 180°) и она снова ляжет точно на то же место, что и до вращения.

Продолжим свои рассуждения о зеркальной симметрии. Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична. Сначала представляется, что параллельно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль.

Как ни странно, такая 'симметричная' с виду фигура, как параллелограмм, не имеет не только осей симметрии, но и зеркальной симметрии вообще

В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо. Это свойство нередко используется в массовых играх и соревнованиях, проводимых телевидением. Играющим предлагается, глядя в зеркало, нарисовать какую-либо несимметричную фигуру, например спираль. А потом еще раз нарисовать «точно такую же» спираль, но уже без зеркала. Сравнение обоих рисунков показывает, что спирали получились разные: одна закручивается слева направо, другая - справа налево.